事实上，不仅学生如此，有些教师对轴对称知识也认识模糊。曾多次遇到教师表达疑义——轴对称，就是画出一幅图形的另一半，这跟运动有什么关系？平移、旋转是在运动，但轴对称哪里有运动呢？还有教师存在这样的误解——在判断一个图形是否为轴对称图形时，都是采用“对折、重合”的方式，所以“对折”就是轴对称中的运动。

轴对称中的运动，究竟是怎么回事？师生为什么会产生认识上的模糊？小学里怎样教好这块知识？本文试围绕这三个问题进行阐述。

一、轴对称知识的数学本质

现实世界中，物体发生运动和变化，是最常见的现象。从数学的角度看，物体的运动和变化，都可以抽象为图形的变换。在几何学中，我们把几何图形按照某种法则或规律变成另一个几何图形的过程叫做图形变换。[1]

如规定平面上任意一点P，如果P与其对应点P’所连线段PP’被定直线l垂直平分，这样的变换就叫做轴对称变换，也叫轴反射变换 [2]（如图1），

图1 图2

简称轴对称或轴反射。

不同的法则会产生不同的变换，如平移变换、旋转变换、相似变换等。限于篇幅，本文不细述各种法则，读者可自行查阅相关资料。

图形是点的集合，任意一个图形的变换，本质上都是点的变换（或说点集的映射）。如图2，△ABC轴对称变换为△A’B’C’，实际上就是所有的点在同时进行轴对称变换。点的变换，在数学上就称之为“运动”，因此“图形的变换”也被叫做“图形的运动”。

从上可知，轴对称与平移、旋转一样，都是图形变换（运动）的方式，运动的方式不同，其内在本质却相同——都是点的变换（运动）。

但是，若站在生活经验的角度来看待这三种运动，常会让人感到有些“差异”。因为一个图形进行平移、旋转，它们都是在一个平面上可以进行的运动（滑动、转动），这样的现象生活中比较常见，比较符合人们对运动的常规理解；而轴对称，似乎不是在一个平面上可以进行的运动，如果非得要找寻生活经验，就需要人们改变思维方式，把看待运动的视野从平面拓展到立体，才能找到对应的实例——将整个图形翻折过来（即沿着对称轴作空间翻转180°）。

所以，从生活经验和学习心理的角度来看，轴对称相比平移、旋转，要略抽象和复杂一些，由此开展的学习自然也会曲折一些。

以上背景知识及分析，教师必须要有清晰的认识，这是教对、教好轴对称知识的前提。

二、师生认识模糊的原因

（一）较多的相关名词产生的干扰

师生认识上的模糊，跟轴对称知识中相关名词比较多、容易混淆有关系。

上文中已经说到了好几个名词：轴对称、轴对称变换、轴对称运动。事实上，我们还经常听到对称轴、轴对称图形、两个图形成轴对称等名词或说法。汉语表达的丰富性，对学习者而言有时也是负担，会影响知识的理解和运用。这里，有必要把几个名词再理一理。

轴对称是轴对称变换（轴对称运动）的简称，它相当于一个动词，表达的是那种特定的运动法则。这个词语如果换作更具动词特征的“反射”，也许会更有利于人们的理解和表达。事实上，在数学的专业领域，很多都是采用“反射”这个词语的，如笔者制图时所用的几何画板中的菜单（如图3）。

图3

而轴对称图形，则是一个名词。它是指若关于一个图形，存在这样一条直线，使这图形上的每个点关于这条直线的对称点仍是这图形上的点，则称这图形关于这条直线对称，或称这个图形是轴对称图形[3]。这个说法比较抽象，简单地说，此处的“轴对称”三个字，是一个定语，用其刻画了这个图形的性质（特征）。如长方形、等腰三角形等，都具有“轴对称”的特征，所以都叫做轴对称图形。（注意：从定义可见，轴对称图形一般是指一个图形。但是，当两个图形有轴对称关系时，如果把它们合起来看成一个整体的话，这个图形就是一个轴对称图形[4]，如图2中两个三角形组成的图形）

从上一段话中也可以看到，两个图形成轴对称，无非就是在表达两个图形之间存在着的一种位置关系——轴对称的关系。

所以，笔者猜测，没把轴对称看作运动方式的师生，有可能是把作为图形特征的“轴对称”，与作为图形运动方式的“轴对称”发生了混淆。这与现实中人们常常把轴对称图形和轴对称变换都简单地称为“轴对称”有关。可以假想，描述这个知识时，人们若规定这种变换一律叫“反射变换”，简称“反射”（即把作为动词的“轴对称”说法删去），而形成的图形叫做“轴对称图形”，混淆也许就会少很多。

（二）教材的内容编排带来的影响

当前的《数学课程标准（2011年版）》（下文简称“课标”），对于轴对称知识，小学里只要求“感受轴对称现象”“通过观察、操作，初步认识轴对称图形”（第一学段），“进一步认识轴对称图形……能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”（第二学段）。简单地说，“课标”要求小学只认识轴对称图形。

各套教材均按“课标”要求进行了编排，“课标”精神得以落实，但一个不可避免的情况却也由此产生——经过小学阶段的学习，学生把轴对称与平移、旋转“差别对待”了。学生误以为轴对称就是一个图形，要研究的就是它的特征，而平移和旋转，则是一种运动，要研究的是运动的具体过程。

如果分析教材的编排，我们可以清晰地看到这种误解是如何产生的。

轴对称的知识，国内各套教材大多分两段进行编排，现以人教版教材为例进行分析。人教版第一次编排是在二年级下册，单元名称就叫“图形的运动（一）”。整个单元有四个例题，分别教学轴对称、平移、旋转、轴对称的运用。图4是教学轴对称知识的情境及例题，图5是教学平移知识的情境及例题。

图4 图5

仔细观察教材，可发现轴对称的引入情境，是“静态存在”的一幅图，而平移的引入情境，则是“动态发生”的一件事。同样，轴对称的例题，教学的是一个图形的特征（对折后左右能完全重合），而平移的例题则是在让学生感受一个图形经运动后可得到另一个图形。

所以，学生学完这个单元后，“轴对称就是图形的运动”的认识是不太可能具备的，他们也不明白轴对称、平移、旋转三个内容为何编在一个单元，名称叫“图形的运动”。对此，想必不少教师也会有类似的感觉。

到了四年级下册，是“图形的运动（二）”，内容是再次教学轴对称和平移（旋转相对复杂，编在了五年级下册）。图6是轴对称的例题，教材直接给出了一个轴对称图形，让学生“看一看，数一数，发现了什么”。例题如此设计，不是在从运动的角度揭示这个轴对称图形的形成，而是在让学生通过探究发现轴对称图形的性质——对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线与对称轴垂直。紧接着的例2（图7）是补全一个轴对称图形，学生可从例1中获得的经验，借助观察、数格子、找点、连线，补全图形，此过程就是性质的运用。

图6 图7

所以，通过例1、例2的学习，轴对称就是研究一个图形的性质（或利用性质画出一个图形的另一半），一定是学生学习轴对称知识的最大感受，至于其中的“运动”特性，应该是没有任何感觉的。

反观紧接着的平移教学（图8），从例题内容可见，学生学习后，一定能切实地感受到图形在进行运动，运动后变化到其他位置，又得到了一个图形。旋转的教学与其相似，限于篇幅，本文不再呈现例题作说明。

图8

人教版教材如上的编排体系及例题形式，北师大版、苏教版等教材总体与之类似。

综上所述，关于轴对称知识，“课标”引领下的教材编排（例题内容及教学要求），使得学生虽然经历了两轮学习，但并不能获得“这是一种图形运动方式”的认知，这与学习平移、旋转后形成的清晰认知是完全不一样的。正因为此，到了六年级“图形的运动”总复习时，很多学生就不认为轴对称也是图形的运动方式，而三个知识点不一样的教学实施，也使有些教师不知不觉间模糊了认识。

三、轴对称知识的教学思考

根据上面的分析，在目前的“课标”定位下，小学里教学轴对称知识，若想让学生较好地认识到“轴对称就是图形的运动方式”，教师只能在自己认识的提升上、在教学实施的改进上用力。

（一）教师的认识需切实提升

首先，教师要准确把握轴对称知识的数学本质——运动。“轴对称就是图形在运动，实际上就是点在运动”，只有教师具备这样的认识，那么无论是审视教材中的例题和习题，还是设计教学的内容和方法，或是教学中的语言表达和引领，才会时时体现出运动的内涵。比如说，初次教学轴对称时，教师都会让学生用对折的方法研究图形，但如果教师知道翻折更能展现出轴对称的运动特征，那么就会有意识地去把对折与翻折进行沟通，引导学生借助翻折去感知和描述图形的变化。再比如，在格子图上画出轴对称图形的另一半，如果教师意识到其本质就是“点的运动”，那么原有的教学行为就可能发生很大的改变。

其次，轴对称知识的教学价值（如空间观念的培养、变与不变思想的渗透），与轴对称相关的背景知识（如全等变换、变换的参照物），包括不同名词概念所表达含义的区别与联系，等等，教师也都要有较为清楚的认识，这均有利于教师以更高位的视野审视这些内容，以更准确的方式开展教学。

（二）教学的实施可合理改进

在把握知识本质的基础上，利用现有的教材资源，在内容上作适度微调，在教法上作大胆探索，可以让轴对称的教学取得更好成效。根据笔者的实践和思考，以下三个教学节点上可作尝试：

1.初次教学时，引入“翻折”，渗透运动

各套教材都是从生活中的轴对称现象引入，让学生初步感知这些图形的特点，然后再正式开展例题教学。以人教版为例，例题是让学生开展“对折→画→剪→打开”的操作活动（图9），得到轴对称图形。教材希望学生经历多次这样的活动后，能充分感知轴对称图形的特点，认识对称轴等知识。

图9

显然，仅按上述过程进行教学，学生是不能体会到“轴对称就是图形的运动”，所以，若想要在此时作一定的渗透，教师必须主动介入，巧妙引领。具体可做以下几件事：

先明确告知学生：“把折起来的图形打开，就好像把一个图形变成了两个，其中一个翻到了它的另一边，这也可以看成图形在进行运动。”

再让学生借助手头的多个类似学习材料，反复玩，加深体会。

紧接着，以一个操作活动正式引入“翻折”这个名词，进一步渗透“运动”：

学习纸上印了一些图案（都是半个的），学生手里有与这些图案一模一样的纸片。先让学生把一张纸片重叠在某个图案上，然后指令学生根据某条线（对称轴）把纸片翻到一边，观察发生的现象。告知学生“这就叫翻折，跟前面打开对折后得到一个完整的图形是一样的道理，就是图形在运动。”

再变化指令，让学生将纸片沿另外的线进行不同方向的翻折。翻折之前想象，翻折之后观察（还可借助多媒体支撑），充分体验通过不同的翻折可得到不同的轴对称图形。更换其他纸片，反复地玩……

如上活动，学生对翻折运动以及轴对称图形特征的体验应该会很深刻。

另外，后续的练习，不要一味地都是凭借观察或借助“对折、重叠”来判断一个图形是否为轴对称图形，与翻折有关的练习，可以多一些，以进一步强化运动的思想。如下面的习题，就很有意思（图10来自人教版，图11来自北师大版）。

图10

图11

特别说明：“翻折”这个名词，运动特征明显，学生也容易理解和表达，教学轴对称知识时，直接采用这个名词来称呼轴对称运动，笔者觉得很不错。事实上，很多专家早就有此呼吁。[5]

2.再次教学时，做强“找点”，指出本质

如果说轴对称的初次教学，是让学生直观感知图形的运动，那么再次教学时，就应该从直观过渡到抽象，引导学生从数学的本质上去认识轴对称运动。

人教版教材四年级的例题（前文图6、图7），是先教学轴对称图形的性质，再利用掌握的性质画出另一半，这个编排顺序和要求，不妨作个变化——通过翻折（想象、操作）找出另一半，在探究过程中得出性质。原来的例题可如下改变：

这个图形沿着对称轴翻折（图12），你能想象出A、B、C、D四个点分别会变到哪个位置吗？请在图上标出四个点变化后的位置，并补全整个轴对称图形。

图12

以上过程，既链接上了之前的学习经验（翻折），又无痕地渗透了图形的运动就是点的运动这个数学本质。教师要做的，就是在反馈时，借助实物操作或多媒体演示，让学生说清楚并理解这些点会变到哪个位置，可以怎么想？（注意：图中的点并不全是格点，这更有利于学生思考）经过这样的学习，学生就能切实地体会到，一个图形要进行轴对称变化，只要找到各个关键点运动后的位置，然后把点连线即可得到它的另一半。如此，知识的本质得以凸显，方法的联系得以建立。

在此基础上，引导学生进一步关注运动前后的点，“看一看，数一数，你发现了什么”，轴对称图形的特征自然得出。（当然，这个特征也许在上例找点说理时，学生就已有发现）

上述思路，在北师大版教材的例题中，有一定体现，如图13。这个例题可作两点改进：一是半幅图上可用字母标注出几个点，二是提示语句可改成“先想象一下翻折的过程”（而非对折）。

图13

如上教学后，学生理解了轴对称运动的本质，打通了找点与翻折之间的关联，基于此再去熟练技能（各种画出轴对称图形另一半的练习），甚至探索对称轴是斜线的情况，那就都能高屋建瓴地审视并实现了。

3.综合练习时，灵活“解题”，打通关联

学完轴对称、平移、旋转三个内容之后，教材都设置了综合运用这三个知识的内容。但若仔细阅读教材，会发现目前的编排中，对三个知识是有“区别对待”的——讲运动方式时只要求用平移和旋转，而不提轴对称。如北师大版教材六年级下册中的这道例题（图14），很明显，要求只是怎么通过平移或旋转将图片运动到指定位置。人教版的题目也是如此。

图14

题目如此编排（要求），再次失去了引导学生认识轴对称是图形运动方式的机会，极为可惜。这当然是有原因的——一是图中的七巧板若作轴对称运动，将会涉及“两个图形成轴对称”，这超出了“课标”对小学的要求；二是之前的教学没有指出过轴对称的运动本质，此时再提这样的要求，显然不合逻辑。

那么，如果在这样的题中加入轴对称的要求，六年级的学生是否能进行学习呢？教学的效果又会怎样呢？

笔者曾经改造过一个素材，开发出了一节效果不错的练习课。[6]素材来自于“课标”例35（如图15），北师大版教材六年级下册也有此题。

图15

原题中也是仅要求利用平移和旋转还原（此题可能还考虑了情境的真实性，如积木的翻折后反面是没有图案的）。为此，我将情境改为四个图形拼成的笑脸，而且这些供学生操作的卡片，全部双面印刷——两面相同。任务还是“打乱的图形如何才能实现还原”，但对具体方法没有作限定。结果，当有学生想到运用轴对称的方法之后（如图中打乱后处在左边的图形，经过翻转后也可实现还原），轴对称就成为了课中学生主动追求、非常喜欢的一种方法。尤其是对称轴的个性化设定，使得变化过程得以创新出奇。整节课，不断变化打乱的图形及位置，逐步提升还原的要求（尽可能少的步骤），促使学生灵活地运用三种方式进行解决，在加深对三种运动认识的同时，还较好地发展了空间观念。这节课的数次展示，师生都印象深刻，反响非常好。

从知识学习的角度而言，上这样一节课是非常必要的，因为它能使学生从整体的视角、从联系的视角，实现对轴对称、平移和旋转的深度把握——都是图形的运动，都是全等的变换，只不过变换形式不同而已。内在关联一旦打通，知识就能整体建构。

四、值得讨论的一个话题

行文至此，也许有读者已经发现了本文所论及的师生认识模糊、教学改进建议、教材编排设想等，追根溯源，都指向于同一个原因——“课标”没有要求小学里教学轴对称要揭示其运动本质。

由此带来一个值得讨论的话题，那就是“课标”的要求可否作适当调整，让小学的轴对称教学，也能体现出其运动的本质呢？倘若可行，这些问题不就都迎刃而解了吗？

从笔者的教学经验和实证研究来看，小学生完全有能力从运动的角度来学习轴对称。“课标”设置的小学只学轴对称图形，初中再学两个图形成轴对称（此时揭示其运动本质），是觉得两者之间思维层级明显，不可逾越，但实际上，这个思维层级，小学生却并没有什么感受。

图16是笔者做过的一次问卷调查。这四道题目，①②类型是小学教材所要求的（对称轴横平竖直），③是教材上的星号题（对称轴是斜的，不要求每个学生必须掌握），④就是初中才教的两个图形成轴对称（小学里没出现过）。两所学校338名按当前教材学习过轴对称知识的五年级学生，第①题的正确率为100%，第②题93.2%，第③题77.5%，第④题99.1%。

图16

第④题的情况小学里没教过，但学生却几乎都会，可见，两个图形成轴对称，对小学生而言，根本不是困难的知识。

所以，如果“课标”把现在第二学段的要求“进一步认识轴对称图形……能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”，调整为“认识轴对称，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形”，即在小学里把上图第④题的情况也教了，那么小学生意识不到轴对称是图形运动方式的窘境也许就能解决了。

教材要做这样的调整是不难的，只需要在第二学段学生再次认识轴对称时，先认识一个轴对称图形的特征，再作个恰当的延伸，引导学生认识两个图形所组成的轴对称图形，并发现特点与前相同；两次认识时，都从运动的角度来描述和分析（如前文所讲的教学实施方式），并择机明确告知“这样的运动就叫轴对称”；整个研究过程，包括画轴对称图形的另一半，均在方格纸中。具体设计，限于篇幅，不再详述。

这样的调整，数学本质是说得通的——把成轴对称的两个图形看成一个整体，它本就是一个轴对称图形；教学逻辑也是合理的——中小学都是在学轴对称运动，小学是借助方格纸直观学习，初中则是脱离方格纸更深入地学习。

综上，若要让小学的轴对称知识彰显“运动”本色，既需要教师自己提升本体性知识，改进教学的过程与方法，也需要上级部门在课程目标设置、教学内容编制等方面再作优化。上下一心，共同探索，才能让学生更好地学习轴对称知识，让这个内容绽放出其特有的育人价值。

5

数学笑话

数学课上。数学老师对一位学生说：“你怎么连减法都不会？例如，你家有10个苹果，被你吃了4个后结果是多少呢？”

这个学生沮丧的说道：“结果是挨了10下屁股。”

你若盛开 蝴蝶自来

审核人： 徐 宾 麻志力返回搜狐，查看更多