考虑可积函数 g ( x ) g(x) g(x)，现要计算 ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bg(x)dx ∫ab​g(x)dx。若能够将 g ( x ) g(x) g(x)拆分为两个函数的乘积，即 g ( x ) = f ( x ) t ( x ) g(x)=f(x)t(x) g(x)=f(x)t(x)，则原积分形式可表示为 ∫ a b f ( x ) t ( x ) d x \int_a^bf(x)t(x)dx ∫ab​f(x)t(x)dx。记此时的x的密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)，那么即可表示为 E ( t ( x ) ) = ∫ a b f ( x ) t ( x ) d x E(t(x))=\int_a^bf(x)t(x)dx E(t(x))=∫ab​f(x)t(x)dx。不难看出， E ( t ( x ) ) E(t(x)) E(t(x))是很容易利用随机数进行估计的，它的值在样本量足够大的时候，可以用 ∑ i = 1 n t ( x i ) / n \sum\limits_{i=1}^nt(x_i)/n i=1∑n​t(xi​)/n进行估计（其中， x i x_i xi​是来源于密度函数为 f ( x ) f(x) f(x)的样本）

以上思想的关键在于密度函数 f ( x ) f(x) f(x)的寻找（因为我们只有知道了x的分布，才能产生相对应的随机数），这就需要我们对一些基本分布的密度函数有所了解(例如：指数分布、正态分布、均匀分布等)。此外，在找 f ( x ) f(x) f(x)的时候还需注意积分区间是否一致。以 ∫ 0 ∞ e − x s i n x d x \int_0^{\infty}e^{-x}sinxdx ∫0∞​e−xsinxdx为例，看到 e − x e^{-x} e−x可联想到指数分布的密度函数，而且此时的积分区间也恰好是0到正无穷，故是选参数为1的指数分布作为 f ( x ) f(x) f(x)。

以下在R语言中，以例子进行展示不同的方法计算一重积分和二重积分

例1 计算 ∫ 0 ∞ e − x s i n x d x \int_0^{\infty}e^{-x}sinxdx ∫0∞​e−xsinxdx