在拓扑学中, 道路连通空间是一类拓扑空间, 类似连通空间, 但使用一种略微不同的方式来刻画空间的连通性. 具体而言, 道路连通空间是指其中任何两点都能被一条道路所连接的空间.

组成拓扑空间的那些道路连通的部分称为道路连通分支. 空间 X 的道路连通分支的集合 π0​(X) 也是其第 0 阶同伦群. 虽然如此称呼, 但 π0​(X) 一般并没有群结构.

所有道路连通空间都是连通空间, 但反之则不一定, 见下文 “性质” 一节.

定义 1.1 (道路连通空间). 拓扑空间 X 称为道路连通空间, 如果下列条件成立:

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X 非空.

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对任意 x,y∈X, 存在连续映射 γ:[0,1]→X, 使得 γ(0)=x 且 γ(1)=y.

注 1.2. 定义 1.1 表明, 空空间不是道路连通空间. 这是平凡对象不是单对象的一个例子.

定义 1.3 (道路连通分支). 设 X 是拓扑空间. 在 X 上定义等价关系 ∼ 如下:

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x∼y 当且仅当存在连续映射 γ:[0,1]→X, 使得 γ(0)=x 且 γ(1)=y.

该等价关系的每个等价类称为 X 的一个道路连通分支 (或道路分支).

X 的所有道路连通分支的集合记为 π0​(X), 称为 X 的第 0 个同伦群. 虽然如此称呼, 但 π0​(X) 一般并不是群.

一个空间的道路连通分支一定是闭集, 但不一定是开集. 例如, 考虑有理数集 Q, 带有其通常拓扑, 即序拓扑. 则 Q 的道路连通分支都是单点集. 这也说明, 一个空间不一定同胚于其连通分支的无交并.

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道路连通空间都是连通空间. 特别地, 一个空间的每个道路连通分支都包含于某个连通分支.

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反过来, 连通空间不一定是道路连通空间. 但连通且局部道路连通的空间一定是道路连通空间.

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道路连通空间在连续映射下的像也是道路连通空间.

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拓扑空间的道路连通分支都是闭集.

拓扑学家的正弦曲线是连通但不道路连通的空间. 该空间定义为 R2 的子空间X={(0,0)}∪{(x,sinx1​)∣∣​x>0}.

术语翻译

道路连通空间 • 英文 path-connected space • 德文 wegzusammenhängender Raum (m) • 法文 espace connexe par arcs (m) • 日文 弧状連結空間 (こじょうれんけつくうかん) • 韩文 경로 연결 공간 (經路連結空間)

道路连通分支 • 英文 path-connected component • 德文 wegzusammenhängende Komponente (f) • 法文 composante connexe par arcs (f) • 日文 弧状連結成分 (こじょうれんけつせいぶん) • 韩文 경로 연결 성분 (經路連結成分)