导语：“连通性”是描述集合的重要性质之一，虽然字面上很好理解它在说什么，但做出精确的数学定义却不是一件容易的事。

关键字：集合；拓扑正弦曲线；连通；道路连通

《海边的牛顿》——拓扑正弦曲线，作者Lun-Yi Tsai。这幅画作是我们将要讨论的拓扑正弦曲线的对称版本。

初学分析与拓扑的同学会经常看到如下四种基础集合：开集、闭集、紧致集与连通集。在集合的这四种属性中，连通性应该是字面上看起来最简单的，在字典里它有着很通俗的解释，但是要把它的数学定义描述清楚，却是异常的困难。不过，拓扑正弦曲线可以帮助我们理解到底什么是连通性。

作为一个常用单词，当我们看到“连通”时，会自然想到它是描述两个物体之间关系的词：A与B是连通的，如果它们以某种方式相连或者你可以从A到达B。但在数学中，“连通”则被用来描述一个集合的性质。那么我们怎么将直观的想法数学化呢？一种直观的定义就是：如果你可以从集合中的一个点到达集合中其他任意一点，那么这个集合就是连通的。但是，让我们想想公寓楼，你可以从一个房间中的一点到达这个房间中的任意一点，却无法到达其他房间中的点。那么公寓楼是连通的吗？我认为是的。所以上面的定义就不那么准确。从集合中一点能到达其他任意一点确实是一个重要的数学性质，但是这个条件太强了，数学中称有这种性质的集合是道路连通的，我们会在后面更详细的说明它。

“连通”的概念比“道路连通”更加精细。让我们再来尝试定义一次：如果你无法将这个集合分成两个不重合的集合A和B，那么这个集合就是连通的。不过这里有个小问题：这个定义似乎是完全没用的。它会把很多集合排除在连通集之外。比如我们可以把实数集分成大于等于0的部分和小于0的部分，这两个子集合不相交，所以根据我们的定义，实数集是不连通的。但很明显，它应该是连通的，任何将它列为不连通的定义都是错误的。

那么问题出在了哪里？在实数集的例子中，0是两子集的边界点，但只包含在其中一个子集中。如果我们把这个边界点纳入两个子集中，那么这两个子集就相交了。而如果这两个子集都不包含0，那么它们就不相交，但这两个不相交的子集不能将实数集完全覆盖。所以，“正确”的定义应该能将区间的端点排除在外。在实数集内，不包含端点的区间被称为开集。因此，在实数集中，我们可以把定义：如果你不能把这个集合分解成两个不相交的开集A和B，那么这个集合就是连通的。只要我们定义了开集，这个定义就可以推广到任意集合。根本上讲，当且仅当一个集合的所有点都不是边界点，它才是开集，或者等价地，集合中任意一点的周围都有一“坨”点，即一个小领域，也在集合中。

以上所有工作都是在定义连通性！不过这些工作不是白费的，看，我们得到了拓扑正弦曲线。

拓扑正弦曲线的一部分。注意左边的一片并不是实心的，只是因为曲线太密集，无法表示出来。图片来源：Morn the Gorn, via Wikimedia Commons.

我们将要说明的集合是函数f(x)=sin(1/x)在(0,1]的图像及坐标系的原点共同组成的集合。我们可以看到当x离0越来越近，1/x越来越大，所以sin(1/x)在-1与1之间振荡得越来越剧烈。拓扑正弦曲线是学数学的学生最先接触的连通但道路不连通的例子之一。你可以看到终点线（Y轴），但你就是走不过去。

为什么它是连通的？让我们尝试将其分解成两个不相交的开集。其中一个子集必须包含坐标原点(0,0)。但由于这个子集是开集，原点周围必须存在一个小领域也在这个子集中。但是不管领域有多小，我们总会包含到X轴正半轴上的点，这意味着它一定会包含到f(x)图像的一部分。这就是说，如果我们要把原集合分解，就必须把f(x)的图像截断（即f(x)的图像也被分解成两个不交开集），但f(x)是连续的，所以f(x)的图像是连通的，是不能被分成两个不交开集的。

为什么拓扑正弦曲线不是道路连通的呢？假如你试图从f(x)图像上的一点到达(0,0)点，那么你只能沿着f(x)图像走向(0,0)点，但你将会一直走下去，你会离(0,0)点任意得近，但你面前仍有无限长的路要走。一个与拓扑正弦曲线集合密切相关的集合是闭拓扑正弦曲线集合。闭集是包含所有边界点的集合，Y轴上-1到1间任意一点都会离f(x)的图像任意近，都是边界点，所以闭拓扑正弦曲线集合会包含Y轴上-1到1间的所有点。这不会破坏原拓扑正弦曲线集合的拓扑性质——它仍然是连通的并且不是道路连通的，但它同时也是闭集了。有些人更喜欢研究闭集。

如果你曾经学过拓扑学，你应该记得紧致性的定义：如果一个集合的任意一个开覆盖都有有限的子覆盖，那么它是紧致的。拓扑正弦曲线集合不是紧致的，但闭拓扑正弦曲线集合是紧致的。和所有令人抓狂的数学教材一样，我想给读者留下一个练习：尝试找到拓扑正弦曲线集合的一个没有有限子覆盖的开覆盖；并且证明闭拓扑正弦曲线集合是紧致的。请将你的答案写在[0,1]区间的一个不可数无处稠密闭子集的背面，寄到康托广场的Log2(3)号信箱。

关于作者：Evelyn Lamb是美国犹他大学的博士后。她常常写关于数学及其他酷炫的题材。你可以在推特上关注她@evelynjlamb

（翻译:李轩； 审校：杨玉洁）

原文链接[科学美国人博客]：

http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/a-few-of-my-favorite-spaces-the-topologist-s-sine-curve/