分别延长上下、左右的相对两条边，得到一个正方形，这个正方形其实是原初正方体的一个平行于一个表面的截面，其边长正是正方体的棱长1.

设正八面体的边长为x，根据图3，从正方形的边长为1可得方程

解得:

此即半正多面体的棱长.

只是做完这道高考题，还不能压住我们心头的好奇和疑问：

那个“原初正方体”在哪儿？

怎样由这个原初正方体切割成高考题中的半正多面体？

半正多面体我们以前见过吗？

一共有多少种？

数学文化链接：阿基米德体

阿基米德体是半正多面体中的一种，本题中的半正多面体就是一个阿基米德体。我们知道，一个正方体由六个面组成，分成三组，每组中两个面互相平行。大家仔细观察一下图2，这个阿基米德体的上下、左右、前后三组，共六个小正方形（或者水平，或者竖直），正位于原初正方体的相应六个面上，它们并没有被切割掉啊！展开你想象的翅膀，依据这六个小正方形就可以作出所在六个平面， 复原“原初正方体”（图5）。这样就更容易理解上述解法了。你甚至可以通过延长小正方形的边作出原初正方体的棱。再看图6，这是另一种观察视角。

图5

图6

生活中的阿基米德体

阿基米德体非常罕见吗？

高考命题者就是要找些稀奇古怪的玩意儿“捉弄考生”？

其实，阿基米德体我们人人见过，最常见的足球“电视之星”（图7），就是由一个阿基米德体充气后膨胀而成。这个阿基米德体，是在一个“原初正二十面体”的12个顶点处切割掉12个小五棱锥得到的（图8）。因此，一个常见的足球上，就有12个五边形，20个六边形。

图7

图8

最后告诉你，阿基米德体一共有13种。它以后 会不会再考？很难说，可能会以另一种形式考也未可知。所以，学习不必太顾眼前，风物长宜放眼量，你关注数学文化，了解数学问题、方法的历史背景、来龙去脉，说不定哪天就碰上高考题了。

【原创题：画家中的数学家】

埃舍尔是荷兰著名版画家，他的大量作品充分体现了数学的结构和想象之美，被誉为“画家中的数学家”。

（1）如图是埃舍尔创作的一幅作品，他将一个正方体四个面的对角线连成一个空间四边形（记为四边形ABCD），则这个四边形两条邻边AB和AD之间的夹角是_______°（度数在0°到180°之间）

（2）正多面体是一类非常对称美观的空间图形，它的每个面都是正多边形，且每个顶点伸出的边数同样多。正多面体只有五种：正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。

正多面体常出现在埃舍尔的作品中，如图这幅作品是由正方体和正八面体互相交错而成的，正八面体的12条边正好穿过正方体的12条边的中点，则该正八面体隐含在正方体中的部分的体积占整个正八面体体积的___________。

参考答案：（1）60 （2）5/8

提示

(2) 图9为一个正八面体，正八面体可以看成由两个大正四棱锥拼合而得，6个顶点处切割掉6个小正四棱锥，每个小正四棱锥的棱长都是每个大正四棱锥的棱长的一半，因此割掉部分的总体积是每个大正四棱锥体积的1/8×6=3/4，即原正八面体体积的3/8。

正八面体的每个顶点处都切去一个正四棱锥以后，得到一个阿基米德体（如图10）。这个阿基米德体其实就是题中的正八面体隐含在正方体中的部分。

图9

图10

（本文原载于 《新高考》杂志高三数学版2019年9月刊，有改动）

排版：钱 琪

编辑：李晨曦

复审：梁 莹

终审：李 舒返回搜狐，查看更多