凸优化(八) |
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〇、说明
凸优化主要学习《凸优化》(Stephen Boyd等著,王书宁等译)[1]这本书。学习过程中,对其内容的理解时有困惑,也参考一些其他书籍资料。笔者尽量将这部分知识整理地简洁明了,成此系列笔记。 如有错误疏漏,烦请指出。如要转载,请联系笔者,[email protected]。 一、意义无论原问题是不是凸优化问题,都可以将原问题转化为凸优化问题来求解。 当Lagrange对偶问题的强对偶性成立时,可以利用求解对偶问题来求解原问题;而原问题是凸优化问题时,强对偶性往往成立。否则,可以利用求解对偶问题求出原问题最优值的下界。 二、Lagrange对偶问题2.1、原问题 2.2、Lagrange函数 2.3、Lagrange对偶函数 2.4、Lagrange对偶问题 1、最优值的下界 2、最好下界 2.5、弱对偶性 2.6、强对偶性1、强对偶性 2、约束准则很多研究成果给出了除凸性条件之外的强对偶性成立的条件,这些条件称为约束准则。 3、Slater条件和Slater定理 三、最优性条件3.1、互补松弛性 3.2、KTT条件1、非凸优化问题的KKT条件 2、凸优化问题的KKT条件当原问题是凸优化问题时,满足KKT条件的点也是原、对偶问题的最优解。 若某个凸优化问题具有可微的目标函数和约束函数,且满足Slater条件,那么KKT条件是最优性的充要条件。 3、KKT条件的意义KKT条件在优化领域有着重要的作用。在一些情况下,可以通过解析求解KKT条件来求解优化问题。高等代数中的Lagrange乘子法就可以理解为利用KKT条件求解约束求极值问题。[2] 更一般地,很多求解凸优化问题的方法可以理解为求解KKT条件的方法。 附录 A、参考[1]、《凸优化》,Stephen Boyd等著,王书宁等译 [2]、《高等数学》(同济四版) B、相关目录凸优化(一)——概述 凸优化(二)——凸集 凸优化(三)——凸函数 凸优化(四)——问题求解 凸优化(五)——回溯直线搜索 凸优化(六)——最速下降法 凸优化(七)——牛顿法 凸优化(八)——Lagrange对偶问题 C、时间线2016-03-01 第一次发布 2016-08-08 修改文章名,重新整理完善 |
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