产销平衡的运输问题（ m m m 个产地， n n n 个销地）的数学模型为： min ⁡ z = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c i j x i j s . t . { ∑ i = 1 m x i j = b j , j = 1 , 2 ⋯   , n ∑ j = 1 n x i j = a i , i = 1 , 2 ⋯   , m x i j ≥ 0 \min z =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nc_{ij}x_{ij} \\ s.t.\begin{cases} \sum_{i=1}^mx_{ij}=b_j,j=1,2\cdots,n\\ \sum_{j=1}^nx_{ij}=a_i,i=1,2\cdots,m \\ x_{ij}\geq0 \end{cases} minz=i=1∑m​j=1∑n​cij​xij​s.t.⎩ ⎨ ⎧​∑i=1m​xij​=bj​,j=1,2⋯,n∑j=1n​xij​=ai​,i=1,2⋯,mxij​≥0​ 其中 a i , b j a_i,b_j ai​,bj​ 分别为产地 i i i 产量和销地 j j j 销量，且有总量相等约束。如果要写其对偶问题，可以具体把式子写出来而不使用 ∑ \sum ∑ 符号。

运输问题的解的情况只有两种：唯一最优解和无穷多最优解（存在非基变量即空格检验数为 0 时，就存在有无穷多解）。

由于产销平衡，因此实际上运输问题独立的约束条件只有 m + n − 1 m+n-1 m+n−1 个

表上作业法有三步，第一步是找初始基本可行解，两种方法，一种是最小元素法，优先满足运价小的；另一种是伏格尔法，避免因无法按最小运价引起的巨大损失。首先计算每一行和每一列次小单位运价和最小单位运价之间的差额。优先满足差额大的，填了一个数字后需要重新计算差额。当出现某行或列只有一个元素时，差额取 0 。

第二步是判断是否为最优解，两种方法，一种是闭回路法，找空格的闭回路，奇次顶点运价之和减去偶次顶点运价之和，若还存在有检验数为负，说明未达到最优；另一种是位势法，首先根据基变量检验数为 0 ，求出位势 u i , v j u_i,v_j ui​,vj​，接着计算非基变量的检验数 c i j − u i − v j c_{ij}-u_i-v_j cij​−ui​−vj​ ，若还有负检验数，表面未达到最优解。

事实上，有一种特殊情况，那就是当存在有退化解，调整量取 0 时，尽管此时存在负检验数，运输问题也可能已经达到了最优。

第三步是改进，方法是闭回路调整法，一般选负的检验数中最小的空格开始调整，找到闭回路中偶次顶点运量最小者，作为调整量。奇数次顶点加上该调整量，偶数次顶点减去该调整量，运量最小者处变为空格，原来空格变为数字格。之后重新检验，直至所有检验数都非负。

出现非基变量检验数为 0 时，设该空格闭回路中偶数次顶点最小运量为 a a a ，当调整量 θ ≤ a \theta\leq a θ≤a 时，可以得到多个最优解。

运输问题中退化的情况主要有两种，一是在求初始解时，某处填的数字同时满足了行列的要求，因此需要把该行该列都划去，这时为了保证有 m + n − 1 m+n-1 m+n−1 个数字格，需要在那行那列中任意选取一个空格填上 0 ；另一是进行闭回路调整时，偶数次顶点运量出现两个或两个以上最小者，这时经过调整，则会有多个数字格为 0 。这种情况下，就会出现偶数次顶点最小者为 0 ，因而调整量为 0 ，从而出现尽管存在检验数非负，却已经达到最优解的情况。

对于产销不平衡的运输问题，关键是转化为产销平衡和通过调整运价表来反映特殊需求。当产量大于销量，就需要虚拟一个销地，各产地到该销地的运价为 0 。当最后求出某产地到该虚拟销地的运量为 a a a 时，表明该产地有 a a a 单位产品未售出，即需要储存。因此若题目中出现产地有储存费用，往往产量大于销量，这时各产地到虚拟销地的运价就不再是 0 了，而是单位储存费用。

当销量大于产量时，就需要虚拟一个产地，该产地到各销地的运价为 0 。当最后出现该虚拟产地到某销地的运量为 a a a 时，说明该销地的需求未得到满足。因此，若题目中要求某销地的需求必须满足，虚拟产地到该销地的运价就应该设为 M M M ，这样虚拟产地肯定不会往该销地运东西了，从而该销地的需求会得到满足。

实际中可能还会出现有多元化需求的销地，比如销地 B 2 B_2 B2​ 的最低需求为 100 100 100 ，最高需求 120 120 120 等等，这个时候的处理办法为，将销地 B 2 B_2 B2​ 分为 B 2 ′ , B 2 ′ ′ B_2',B_2'' B2′​,B2′′​ ， B 2 ′ B_2' B2′​ 的销量为 100 100 100 ， B 2 ′ ′ B_2'' B2′′​ 的销量为 20 20 20 。 B 2 ′ B_2' B2′​ 的销量必须满足，因此虚拟产地到 B 2 ′ B_2' B2′​ 的运价应为 M M M ， B 2 ′ ′ B_2'' B2′′​ 则为 0 。

若题目要求运往某两地的运量尽可能均衡，则一般此问题会有无穷多最优解，先求出一个最优解，再根据题目要求求出另一个最优解，然后两个最优解进行凸组合（相加除以 2 ），就可以使得两处的运量尽可能均衡。

有时，还会出现中转站的情况，也就是某些地方可以既做产地又做销地。假设原问题产销平衡，产量销量均为 210，产地 A1 可以作为中转站，原产量为 130，销地 B1 可以作为中转站，原销量为 60 。这时，销地中应增加 A1 ，销量为 210 ，表明各个产地均可以运往 A1 。且产地中的 A1 ，产量应改为 130+210=340 。相应地，产地中应增加 B1 ，产量为 210 ，且销地中的 B1，销量为 60+210=270。产地 A1 到销地 A1 的运价应为 0 ，B1 同理。那问题就变成了一个新的产销平衡问题。

若目标不是求最小，则可以用最大的元素减去每个元素，从而转化为了求最小。