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方阵的行列式：将矩阵中的元素拿出来，用行列式的形式表示

A = [ 2 , 2 , 2 3 , 3 , 3 1 , 1 , 1 ]      ∣ A ∣ = ∣ 2 , 2 , 2 3 , 3 , 3 1 , 1 , 1 ∣ A = \left[ \begin{matrix} 2,2,2\\3,3,3\\1,1,1 \end{matrix} \right]\space \space \space \space |A|=\begin{vmatrix} 2,2,2\\3,3,3\\1,1,1\end{vmatrix} A=⎣ ⎡​2,2,23,3,31,1,1​⎦ ⎤​    ∣A∣=∣ ∣​2,2,23,3,31,1,1​∣ ∣​

如何理解这个里的矩阵行列式？ 可以把矩阵当做一个类，那么就可以把行列式理解其中的一个属性，矩阵还有特征值、特征向量等等属性

方阵行列式的性质：

例题， A A A为5阶矩阵， ∣ A ∣ = 3 |A| = 3 ∣A∣=3

(1) ∣ − A ∣ = ( − 1 ) 5 ∣ A ∣ = − 3 |-A| = (-1)^{5}|A| = -3 ∣−A∣=(−1)5∣A∣=−3 (2) ∣ 2 A T ∣ = ( 2 ) 5 ∣ A ∣ = ( 2 ) 5 ∗ 3 |2A^{T}|=(2)^{5}|A| = (2)^{5}*3 ∣2AT∣=(2)5∣A∣=(2)5∗3 (3) ∣ ∣ A ∣ A ∣ = ∣ 3 A ∣ = 3 6 ||A|A|= |3A| = 3^{6} ∣∣A∣A∣=∣3A∣=36 (4) ∣ ∣ ∣ ∣ A ∣ A ∣ A ∣ A ∣ = ∣ ∣ ∣ 3 A ∣ A ∣ A ∣ = ∣ ∣ 3 6 A ∣ A ∣ = ∣ ∣ ∣ 3 A ∣ A ∣ A ∣ = ∣ ∣ 3 6 A ∣ A ∣ = ∣ 3 30 3 A ∣ ∣ = 3 156 ||||A|A|A|A| = |||3A|A|A|=||3^{6}A|A|=|||3A|A|A|=||3^{6}A|A|=|3^{30}3A||=3^{156} ∣∣∣∣A∣A∣A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣∣∣3A∣A∣A∣=∣∣36A∣A∣=∣3303A∣∣=3156

只有方阵才有伴随矩阵。矩阵的伴随矩阵：求所有元素的代数余子式，按行求的代数余子式按列放构成的矩阵，比如 A = ( 1 , 1 , 1 2 , 1 , 3 1 , 1 , 4 ) A= \left(\begin{matrix} 1,1,1\\2,1,3\\1,1,4\end{matrix}\right) A=⎝ ⎛​1,1,12,1,31,1,4​⎠ ⎞​ A 11 = 1 , A 12 = − 5 , A 13 = 1 , A 21 = − 3 , A 22 = 3 , A 23 = 0 , A 31 = 2 , A 32 = − 1 , A 33 = − 1 A_{11}=1,A_{12}=-5,A_{13}=1,A_{21}=-3,A_{22}=3,A_{23}=0,A_{31}=2,A_{32}=-1,A_{33}=-1 A11​=1,A12​=−5,A13​=1,A21​=−3,A22​=3,A23​=0,A31​=2,A32​=−1,A33​=−1 求解出 A A A的伴随矩阵为 A ∗ = ( A 11 , A 21 , A 31 A 12 , A 22 , A 32 A 13 , A 23 , A 33 ) = ( 1 , − 3 , 2 − 5 , 3 , − 1 1 , 0 , − 1 ) A^{*}=\left(\begin{matrix} A_{11},A_{21},A_{31}\\A_{12},A_{22},A_{32}\\A_{13},A_{23},A_{33}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1,-3,2\\-5,3,-1\\1,0,-1\end{matrix}\right) A∗=⎝ ⎛​A11​,A21​,A31​A12​,A22​,A32​A13​,A23​,A33​​⎠ ⎞​=⎝ ⎛​1,−3,2−5,3,−11,0,−1​⎠ ⎞​

任意方阵 A A A,伴随矩阵的性质：

假使 A A A为n阶方阵，如果存在n阶方阵 B B B，满足 A B = B A = E AB = BA =E AB=BA=E，则称 A A A的逆矩阵就为 B B B，记作 A − 1 = B A^{-1} = B A−1=B

逆矩阵性质：

逆矩阵求解： （1）按照定义，可以使用伴随矩阵求解，但是过程太麻烦了 （2）初等变换法，一般使用的方式

例题， A = [ 1 , 1 , 1 2 , 1 , 3 1 , 1 , 4 ] A= \left[\begin{matrix} 1,1,1\\2,1,3\\1,1,4\end{matrix}\right] A=⎣ ⎡​1,1,12,1,31,1,4​⎦ ⎤​，其中 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \not=0 ∣A∣=0,求解 A − 1 A^{-1} A−1

解：按照定义求解，上面已经得到了 A A A的伴随矩阵，这里直接就进行计算出 ∣ A ∣ |A| ∣A∣,即可 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ = 1 3 ( 1 , − 3 , 2 − 5 , 3 , − 1 1 , 0 , − 1 ) A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*} = \frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1,-3,2\\-5,3,-1\\1,0,-1\end{matrix}\right) A−1=∣A∣1​A∗=31​⎝ ⎛​1,−3,2−5,3,−11,0,−1​⎠ ⎞​

例题， A + B = A B A+B=AB A+B=AB,证明 A − E A-E A−E可逆，

解：这种只给了式子证明可逆的行为，就是要求努力拼凑出定义的式子，将 E E E凑在右边时，就出来了 A B − A − B + E = E ⇒ ( A − E ) ( B − E ) = E AB - A -B+E= E \Rightarrow (A-E)(B-E)=E AB−A−B+E=E⇒(A−E)(B−E)=E

例题， A = [ 4 , 2 , 3 1 , 1 , 0 − 1 , 2 , 3 ] A= \left[\begin{matrix} 4,2,3\\1,1,0\\-1,2,3\end{matrix}\right] A=⎣ ⎡​4,2,31,1,0−1,2,3​⎦ ⎤​，已知 A X = A + 2 X AX = A+2X AX=A+2X，求解 X X X

解：先将给出的等式进行化简，如下(要特别注意矩阵相乘的时候的位置，“左乘”和“右乘”是有很大区别的) A X − 2 X = A ⇒ ( A − 2 E ) X = A ⇒ X = ( A − 2 E ) − 1 A AX-2X = A \Rightarrow (A-2E)X =A \Rightarrow X = (A-2E)^{-1}A AX−2X=A⇒(A−2E)X=A⇒X=(A−2E)−1A

特别注意： 1）矩阵相乘时候的方向位置很重要， ( A − 2 E ) − 1 A (A-2E)^{-1}A (A−2E)−1A和 A ( A − 2 E ) − 1 A(A-2E)^{-1} A(A−2E)−1不一样 2）没有矩阵和数值的加减法，因此要自觉补充 E E E， A − 2 ⇒ A − 2 E A-2 \Rightarrow A-2E A−2⇒A−2E 3）在分母上不要出现矩阵，不应该出现 A A − 2 E \frac{A}{A-2E} A−2EA​ 4）先判断可逆，再写逆矩阵。在使用 ( A − 2 E ) − 1 (A-2E)^{-1} (A−2E)−1之前，一定要先判断 A − 2 E A-2E A−2E是可逆的，也就是行列式的值不为0.（容易掉进坑里面去） 5）伴随矩阵求解 6）初等变换求解（之后梳理）

最后结合这伴随矩阵和逆矩阵的性质，求解 ( A ∗ ) ∗ (A^{*})^{*} (A∗)∗和 ( ( A ∗ ) ∗ ) ∗ ((A^{*})^{*})^{*} ((A∗)∗)∗

解：根据 A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^{*} = |A|A^{-1} A∗=∣A∣A−1，所以 ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ ( A ∗ ) − 1 = ∣ A ∣ n − 1 A ∣ A ∣ = ∣ A ∣ n − 2 A (A^{*})^{*} =|A^{*}|(A^{*})^{-1}=|A|^{n-1}\frac{A}{|A|} = |A|^{n-2}A (A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1=∣A∣n−1∣A∣A​=∣A∣n−2A

( ( A ∗ ) ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ n − 2 A ∗ = ( ∣ A ∣ n − 1 ) n − 2 ∣ A ∣ A − 1 = ∣ A ∣ n 2 − 3 n + 3 A − 1 ((A^{*})^{*})^{*} =|A^{*}|^{n-2}A^{*} =(|A|^{n-1})^{n-2}|A|A^{-1}=|A|^{n^{2}-3n+3}A^{-1} ((A∗)∗)∗=∣A∗∣n−2A∗=(∣A∣n−1)n−2∣A∣A−1=∣A∣n2−3n+3A−1