之前看到有大佬做了一个高中物理的经典问题的讲解

在圆轨道没有摩擦力的情况下这个问题想必人人都会了

那么如果圆轨道存在摩擦力，动摩擦因数为μ，质点运动的规律会是什么？这篇专栏就来解决这个问题。

首先介绍一个不太常用的积分公式，接下来会用到

用几次分部积分可以证明，还可以用欧拉公式【个人认为是相对最简洁的证明】：

问题：质点P【质量为m】一初速度v0进入（半）圆轨道【半径R】，圆轨道动摩擦动摩擦因数为μ，求其运动规律？假设速度v0能使P运动至轨道上半部分（不超过最高点），P在哪个位置会脱离轨道？

选择自然坐标系，

列出方程

消去N【(1)×μ加到(2)】得

两边同乘Rdθ，得

整理得

上式记为（3）【还可以通过动能定理（微分形式）快速导出这个方程】

显然（3）并不是全微分方程，

考虑到

与v^2无关，因此可乘上一个积分因子φ(θ)【φ(θ)＞0】，

方程变为

φ(θ)满足

分离变量，并积分

忽略常数并整理得

代回（3）得

方程成为全微分方程，

带入初值条件并积分，得到方程的特解

选一个看起来不错的积分路径（积分与路径无关）【如图】

带入积分公式得

两个v^2可以消掉，故

上式记为(4)

这样就得到了质点的运动规律【即（4）！

【幸运的是，这里v^2可以直接反解出来，因此带入动能定理式就能直接算出摩擦力做功】

假使v0可以使质点运动至圆轨道的上半部分的某个位置脱离圆轨道，

那么此时N=0，带入（1）式得v^2=-gRcosθ，

将此式代入（4）就得到θ满足的方程

【遗憾的是，这是个超越方程，很难得到具体的解析解】