最近与学生讨论到二次方程时，遇到了 x^2=x+1 的方程，同时与学生科普了黄金矩形的相关知识，这时也与学生推荐一个 youtube 上有一个关于黄金比例的视频，可点选以下搬运到 bili 上的视频 https://www.bilibili.com/video/BV1iE411d72h。后来我也尝试想用 Geogebra 来模拟开头的黄金矩形的动画，便将这作为这次的专案。

说明：这节主要利用表格区来计算费氏数列 F(n)，对于类似 F(n) = F(n-1) + F(n-2) 这类递回关系，可在表格区输入一格后，将公式复制到其他格就可自动完成计算。

操作：

A1 = 1

A2 = A1+1 

# 将A2的公式复制到 A3 到 A 20

B1= 1

B2 = 1

B3 = B2 + B1 

# 将 B3 的公式复制到 B3 到 B20

C2 = 1

C3 = B2 / B1 

# 将 C3 的公式复制到 C3 到 C20

说明：这节主要展示在表格区也可建立点与正多边形。当物件有些规律时，用表格区来记录变数会方便多个几何物件的管理。再观察规律后，下一节将用公式拖拉来一键生成这些物件。

操作：

D1 = (0,1)

E1 = (0,0)

F1 = Polygon(D1,E1,4)

D2 = (0,1)

E2 = (1,1)

F2 = Polygon(D2,E2,4)

# 接着先先手动输入几个正方形一边的两点坐标，方便下一节作观察。

说明：这节主要分析正方形顶点的规律，先观察到 E2=D2 + (1,0), E3=D3+(0,2), E4=D4+(-3,0), E5=D5+(0,-5) 。  其两点坐标相差的距离正好为费氏数列。而方向依序为 x 正向，y 正向，x 负向，y 负向。正好可以用旋转来表示。因此， E2= D2 + Rotate((B2,0), 90deg*(A2+2))。

再观察  D4=D3 + (1,0), D5=D4+(0,2), D6=D5+(-3,0), D7=D6+(0,-5) 。其两点坐标相差的距离也为费氏数列。而方向依序为 x 正向，y 正向，x 负向，y 负向。也可以用旋转来表示。因此， D4= D3 + Rotate((B2,0), 90deg*(A4))。接着再将公式复制到 D, E 栏即可。

操作：

D4= D3 + Rotate((B2,0), 90deg*(A4))

E2= D2 + Rotate((B2,0), 90deg*(A2+2))

# 将 D,E,F 栏的公式往下复制即可得到所有的点。

说明：要绘制螺线主要利用圆弧指令，需要指定圆心与圆弧上的两个端点。以第一个圆弧为例，圆心 D1=(0,1) ,圆弧上的两端点为 E1=(0,0) 、 (1,1)。其中，(1,1) 可用 M1=Rotate(E1,90deg,D1) 来得到。接着再利用圆弧 N1=CircularArc(D1,E1,M1) 就可得到圆弧。再将公式复制到 M, N 栏就可得到其他的圆弧。

操作：

M1=Rotate(E1,90deg,D1)

N1 = CircularArc(D1,E1,M1)

说明：为了让视窗自动的调整大小，先建立滑动条，并将滑动条增加脚本 ZoomIn， 使得滑动条改变时，视窗画面也同步改变。并且将正方形设定条件显示，让正方形也会随着滑动条数值变化依次出现。

操作：

t = Slider(1,18,0.1,1,100)

phi = (1+5^0.5)/2      #1.618

# 在滑动条输入以下脚本

ZoomIn(-phi^(t),-phi^(t-1),phi^(t),phi^(t-1))

# 在 F 栏中加入条件显示，让正方形可以随着滑动条出现

说明：利用进阶的动态颜色的 HSV 的色调，让每个正方形的色调随着其编号改变而改变其颜色色调来达到每个正方形不同颜色的效果。

操作：

这次主要利用表格区来制作费氏数列与黄金矩形，并利用滑动条来控制视窗的自动缩放。

【GGB】https://www.geogebra.org/m/qwvakjrr

【Bili】https://www.bilibili.com/video/bv1t5411n7eJ

【公众号文】https://mp.weixin.qq.com/s/7OhwEvrMjKLDZoySIxIfgQ

【youtube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JRzFEEC5rkkBL6WtCUHR9N