认知计算，还要从贝叶斯滤波的基本思想讲起，本文主要是对《Probabilistic Robotics》中贝叶斯滤波器部分的详细讲解。

这一部分，我们先回顾贝叶斯公式的数学基础，然后再来介绍贝叶斯滤波器。

我们先来回顾一下概率论里的基本知识：

1. \( X \):  表示一个随机变量，如果它有有限个可能的取值\( \{x_1, x_2, \cdots, x_n \} \).

2. \( p(X=x_i) \):表示变量\( X \)的值为 \( x_i \)的概率。

3. \( p(\cdot) \):称为概率质量函数(probability mass function).

    例如：一个家里有3个房间，机器人在各个房间的概率为 \( p(room)=\{0.1, 0.3, 0.6\} \).

4. 如果\( X \)在连续空间取值，\( p(x) \)称为概率密度函数(probability density function)，

$$p (x \in (a,b)) = \int\limits_a^b {p(x)dx} $$

图1. 概率密度函数曲线示例

5. 联合概率：$ p(X=x ~~\textrm{and} ~~Y=y) = p(x,y) $，称为联合概率密度分布。如果$X$和$Y$是相互独立的随机变量，$p(x,y)=p(x)p(y)$。

6. 条件概率：$ p(X=x|Y=y) $ 是在已知$Y=y$的条件下，计算$X=x$的概率。

$$ p(x|y)=p(x,y)/p(y)$$

$$ p(x,y)=p(x|y)p(y)=p(y|x)p(x)$$

    如果$x$和$y$相互独立，则：

$$ p(x|y)=p(x)$$

7. 全概率公式：

  离散情况下:

$$p(x) = \sum\limits_y {p(x,y)}=\sum\limits_y {p(x|y)p(y)} $$

  连续情况下：

$$p(x) = \int {p(x,y)\;dy} = \int {p(x|y)p(y)\;dy} $$

基于条件概率公式和全概率公式，我们可以导出贝叶斯公式：

$$\begin{array}{c}P(x,y) = P(x|y)P(y) = P(y|x)P(x)\\\Rightarrow \\P(x\,\left| {\,y} \right.) = \frac{{P(y|x)\,\,P(x)}}{{P(y)}} = \frac{{{\textrm{causal knowledge}} \cdot {\textrm{prior knowledge}}}}{{{\textrm{prior knowledge}}}}\end{array}$$

例1:：

在图2所示的例子中，机器人根据观测的到门的距离，估算门开或关的概率，若测量到门的距离为$z=0.5m$，则可用条件概率描述门开着的概率：

      $$P(\textrm{open}|z=0.6) = ?$$

图 2.机器人根据观测计算门开或关的概率

$$\begin{array}{l}P(open|z=0.5) = {\textstyle{{P(z|open)P(open)} \over {P(z)}}}{~~~~\rm{