前两篇博客说到了 G ( 1 , 1 ) G(1,1) G(1,1)，和 G ( 1 , N ) G(1,N) G(1,N)，通过已有的数据，建立对应的模型，可以实现对未来数据的预测。但是，在进行建模之前，我们必须确保数据是有效的，才能保证模型是可行的。并且对模型还需要进行检验，说明模型是可靠的。那么，此次就来说说灰色预测的基本步骤，总共包括四个步骤：

   在我们进行建模前，必须要确保数据是可靠的，数据的检验是必不可少的，如果不满足要求，则需要进行数据处理。在灰色预测中，采用级比进行数据检验。具体地，设参考序列

x ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) , x ( 0 ) ( 2 ) , . . . , , x ( 0 ) ( n ) ) (1) x^{(0)}=(x^{(0)}(1), x^{(0)}(2),...,, x^{(0)}(n) ) \tag{1} x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),...,,x(0)(n))(1)

其级比定义为：

λ ( 0 ) ( k ) = x ( 0 ) ( k − 1 ) x ( 0 ) ( k ) , k = 2 , 3 , . . . , n (2) \lambda^{(0)}(k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)},k=2,3,...,n \tag{2} λ(0)(k)=x(0)(k)x(0)(k−1)​,k=2,3,...,n(2)

如果所有的级比 λ ( 0 ) ( k ) \lambda^{(0)}(k) λ(0)(k)均落在 ( e − 2 n + 1 , e 2 n + 1 ) (e^{-\frac{2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+1}}) (e−n+12​,en+12​)，则数列 x ( 0 ) x^{(0)} x(0)是可以作为 G M GM GM模型的原始数据。如果不满足，则需要对数据做处理，取常数 c c c，做平移变换，即沿着 y y y方向增大 c c c。

y ( 0 ) ( k ) = x ( 0 ) ( k ) + c , k = 1 , 2 , 3 , . . . , n (3) y^{(0)}(k)=x^{(0)}(k)+c,k=1,2,3,...,n \tag{3} y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,3,...,n(3)

对新数列 y ( 0 ) y^{(0)} y(0)再进行校验直到级比 λ y ( 0 ) ( k ) \lambda^{(0)}_y(k) λy(0)​(k)均落在 ( e − 2 n + 1 , e 2 n + 1 ) (e^{-\frac{2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+1}}) (e−n+12​,en+12​): λ y ( 0 ) ( k ) = y ( 0 ) ( k − 1 ) y ( 0 ) ( k ) , k = 2 , 3 , . . . , n (4) \lambda^{(0)}_y(k)=\frac{y^{(0)}(k-1)}{y^{(0)}(k)},k=2,3,...,n \tag{4} λy(0)​(k)=y(0)(k)y(0)(k−1)​,k=2,3,...,n(4)

   通过GM理论，建立灰色预测模型。具体可参考 G ( 1 , 1 ) G(1,1) G(1,1)，和 G ( 1 , N ) G(1,N) G(1,N)。

   第二步得到的灰色预测模型是否可靠，总得有说服的理由吧。到现在我们有 n n n 个原始数据 x ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) , x ( 0 ) ( 2 ) , . . . , , x ( 0 ) ( n ) ) x^{(0)}=(x^{(0)}(1), x^{(0)}(2),...,, x^{(0)}(n) ) x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),...,,x(0)(n))，还有一个灰色模型，那么最简单的方法就是通过灰色预测模型预测对应时刻的值，和 x ( 0 ) x^{(0)} x(0)做一个对比，当然还有其他的方法。设 x ^ ( 0 ) \hat x^{(0)} x^(0)为灰色预测模型的值。

  1 残差检验（相对误差）    令残差 ϵ ( k ) \epsilon(k) ϵ(k)为： ϵ ( k ) = x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) , k = 1 , 2 , 3 , . . . , n (5) \epsilon(k)=\frac {x^{(0)}(k) - \hat x^{(0)}(k)} {x^{(0)}(k)} ,k=1,2,3,...,n \tag{5} ϵ(k)=x(0)(k)x(0)(k)−x^(0)(k)​,k=1,2,3,...,n(5)

   如果所有的 ϵ ( k ) \epsilon(k) ϵ(k)均小于0.2，则认为模型可行，当然 ϵ ( k ) \epsilon(k) ϵ(k)越小越好，说明模型和现有的数据差距很小，这实际类似于拟合，但和数据拟合又大不同。如果所有的 ϵ ( k ) \epsilon(k) ϵ(k)均小于0.1，则认为模型达到较高的要求。

  2 级比偏差值检验    在数据检验和处理阶段已经计算了级比 λ ( 0 ) ( k ) \lambda^{(0)}(k) λ(0)(k)，已经在模型建立阶段计算了发展系数 a a a，那么计算相应的级比偏差：

ρ ( k ) = 1 − ( 1 − 0.5 a 1 + 0.5 a ) λ ( 0 ) ( k ) (6) \rho(k)=1- \left ( \frac{1-0.5a}{1+0.5a} \right) \lambda^{(0)}(k) \tag{6} ρ(k)=1−(1+0.5a1−0.5a​)λ(0)(k)(6)

   如果所有的 ρ ( k ) \rho(k) ρ(k)均小于0.2，则认为模型可行，当然 ρ ( k ) \rho(k) ρ(k)越小越好。如果所有的 ρ ( k ) \rho(k) ρ(k)均小于0.1，则认为模型达到较高的要求。

   根据前面三步，已经得到模型并已经校验，那么就可以通过建立的模型进行数据的预测，需要说明的是，灰色预测模型只能对未来短期数据进行预测。