（接上一期“简单模型引出的重要公式”）

在“简单模型引出的重要公式”中，我们已经推导出了斯特瓦尔特定理，接下来我们来推导三角形中的高线，角平分线，中线长度公式。

一、高线长公式

如图所示，AD⊥BC且D在BC上。

根据广勾股定理有：

a²=b²+c²-2CD·c

CD=(b²+c²-a²)/2c

在Rt△ADC中应用勾股定理有：

hc²=b²-CD²

代入CD：

hc²=b²-((b²+c²-a²)/2c)²

     =(b+((b²+c²-a²)/2c))(b-((b²+c²-a²)/2c))

     =1/(4c²) · (b²+c²-a²+2bc)(a²-b²-c²+2bc)

     =1/(4c²) · [(b+c)²-a²][a²-(b-c)²]

     =1/(4c²)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

令p=(a+b+c)/2（半周长C/2）

则原式可化为：

hc=(2/c)·√(p(p-a)(p-b)(p-c))

这就是三角形的高线长公式。（高在三角形外时的公式依然如此，不再论证）

而因为hc=2S/c，那么可以得到三角形面积公式：

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))  (p=C/2)（海伦公式）

二、中线长公式

如图所示，tc为c边上的中线

用斯特瓦尔特定理可得：

tc²=((c/2)/c)a^2+((c/2)/c)b^2-(c/2)^2

    =1/4 ·(2a²+2b²-c²)

tc=1/2√(2a²+2b²-c²)

三、角平分线长公式

如图所示，l平分∠BAC且把BC分为两段线段x和y。

根据角平分线性质可得：

a/b=x/y（证明略）

而x=c-y,y=c-x:

x=ac/(a+b)，y=bc/(a+b)

根据斯特瓦尔特定理：

l²=((a²bc/(a+b)+ab²c/a+b)/c)-(abc²/(a+b)²)

  =ab-(abc²/(a+b)²)

  =ab/(a+b)² ·((a+b)²-c²)

l=(1/(a+b))√(ab(a+b+c)(a+b-c))

继续化简也是可以的，不过没必要（况且也没几个人看）

四、其他的歪门邪道路线

1.斯特瓦尔特定理强行计算高线长公式

还是这个图。

在两个直角三角形中运用勾股定理有：

h²=a²-BD²=b²-CD²

而BD=c-CD,CD=c-BD:

BD=(a²-b²+c²)/2c,CD=(-a²+b²+c²)/2c

根据斯特瓦尔特定理：

h²=(a²·CD+b²·BD)/c-BD·CD

   =...

   =1/(4c²)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

（不想算了咕一下，你们也可以想象这个计算量是比上面的大得多的）

2.平行四边形四边对角线平方和定理推出中线长公式

中线长公式是这三个里面最好推也是方法最多的，而我们在初中经常用的倍长中线法这时也会派上用场。

引理：平行四边形四边对角线平方和定理

如图所示平行四边形ABCD，那么有它四边的平方和等于两条对角线的平方和，即：

AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²

或2AB²+2BC²=AC²+BD²

证明：

当这个平行四边形是矩形时，易证；

当这个平行四边形是一般的平行四边形时：

分别过点A,D作底边的垂线交底边或其延长线于E,F。

容易知道△ABC和△BCD中必有一个为锐角三角形，一个为钝角三角形。

在△ABC和△BCD中应用广勾股定理：

AC²=AB²+BC²-2BC·BE

AD²=CD²+BC²+2BC·CF

易证△ABE≌△DCF（HL）

那么BE=CF

易证AB=CD

那么2AB²+2BC²=AC²+BD²。

Q.E.D

在△ABC中，AD是BC边上的中线。

那么倍长AD至点E，连接BE,CE.

容易证明四边形ABEC是平行四边形，那么有：

2a²+2b²=c²+(2t)²

tc=1/2√(2a²+2b²-c²)

实际上我是很喜欢这种方法的。

3.让角平分线长公式更加简洁一点

根据a/b=x/y可得：

x=ay/b,y=bx/a

根据斯特瓦尔特定理：

l²=(abx+aby)/c-xy

  =ab(x+y)/c-xy

x+y=c:

l=√(ab-xy)

原来角平分线公式还有这么简单的形式。

（其实把x=ac/(a+b)，y=bc/(a+b)代入就得到那个又恶心又长的公式了）