1. 从矩阵变换的角度

首先半正定矩阵定义为:

其中X 是向量，M 是变换矩阵

我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中，代表对向量 X进行变换，我们假设变换后的向量为Y，记做

于是半正定矩阵可以写成：

这个是不是很熟悉呢？ 他是两个向量的内积。 同时我们也有公式：

||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度，是他们之间的夹角。 于是半正定矩阵意味着

这下明白了么？

正定矩阵是一个椭球。也就是说的正定矩阵对应于n维空间中以原点为圆心的椭球

,

其中：

3. 判定方法

正定性的判定方法有很多重，其中最方便也是常用的一种为：

若所有特征值均不小于零，则称为半正定。若所有特征值均大于零，则称为正定。

当然，通过主元变换或直接求出行列式的值也是方法之一，但由于缺乏充分性，即行列式小于零一定非正定，但大于零则不一定正定，因为偶数次的负元素相乘依旧得正，因此用所有主元（对角线）上的元素来判断的方法更为完备。

4. 黑塞矩阵的正定性

Hessian矩阵的正定性在判断优化算法可行性时非常有用，简单地说，黑塞矩阵正定，则

1. 函数的二阶偏导数恒 > 0

2. 函数的变化率（斜率）即一阶导数始终处于递增状态

3. 函数为凸

因此，在诸如牛顿法等梯度方法中，使用黑塞矩阵的正定性可以非常便捷的判断函数是否有凸性，也就是是否可收敛到局部/全局的最优解