马尔科夫链与转移矩阵 |
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什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix) 转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。 转移概率矩阵的特征转移概率矩阵有以下特征: ①,0≤Pij≤1 ② 所谓矩阵,是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来,以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵。 这是一个由m行n列的数构成的矩阵, 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等,也可以不等。当它们相等时,矩阵就是一个方阵。 由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率。 假定某大学有1万学生,每人每月用1支牙膏,并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月(12月)调查,有3000人使用黑妹牙膏,7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中,有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏,40%的人将改用中华牙膏; 使用中华牙膏的7000人中, 有70%的人下月将继续使用中华牙膏,30%的人将改用黑妹牙膏。据此,可以得到如表-1所示的统计表。 表-1 两种牙膏之间的转移概率 拟用黑妹牙膏中华牙膏现用 黑妹牙膏60%40%中华牙膏30%70%上表中的4个概率就称为状态的转移概率,而这四个转移概率组成的矩阵 称为转移概率矩阵。可以看出, 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。 在本例中,其经济意义是:现在使用某种牙膏的人中,将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。 2. 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化 有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下: 即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。 假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为: 这里 正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。 转移概率矩阵案例分析 案例一: 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化[1]有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下: 即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为: = = =(4170,5830) 这里 称为二步转移矩阵,也即由12月份的情况通过2步转移到2月份的情况。二步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的平方。一般地, k步转移概率矩阵正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。 参考文献 ↑ 1.0 1.1 决策支持系统导论.第二章 市场需求预测与预测支持系统 相关条目 转移概率马尔可夫过程
转移概率(transition probability) 什么是转移概率转移概率是马尔可夫链中的重要概念,若马氏链分为m个状态组成,历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。从任意一个状态出发,经过任意一次转移,必然出现状态1、2、……,m中的一个,这种状态之间的转移称为转移概率。 当样本中状态m可能发生转移的总次数为i,而由状态m到未来任一时刻转为状态ai的次数时,则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态aj的转移概率为: 这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵:P(m,m+n)(Pij(m,m + n)) 当m=1时为一阶转概率矩阵, 假定某大学有1万学生,每人每月用1支牙膏,并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。 根据本月(12月)调查,有3000人使用黑妹牙膏,7000人使用中华牙膏。 又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中, 有60%的人下月将继续使用黑妹牙膏, 40%的人将改用中华牙膏; 使用中华牙膏的7000人中, 有70%的人下月将继续使用中华牙膏, 30%的人将改用黑妹牙膏。据此,可以得到如表-1所示的统计表。 表-1 两种牙膏之间的转移概率 拟用黑妹牙膏中华牙膏现用 黑妹牙膏60%40%中华牙膏30%70%上表中的4个概率就称为状态的转移概率,而这四个转移概率组成的矩阵 称为转移概率矩阵。可以看出, 转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为1。 在本例中,其经济意义是:现在使用某种牙膏的人中,将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。 2. 用转移概率矩阵预测市场占有率的变化 有了转移概率矩阵,就可以预测,到下个月(1月份)使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数,计算过程如下: 即:1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900,而使用中华牙膏的人数将为6100。 假定转移概率矩阵不变,还可以继续预测到2月份的情况为: 这里 正好是一步转移概率矩阵的k次方。可以证明,k步转移概率矩阵中,各行元素之和也都为1。
马尔可夫过程(Markov Process) 什么是马尔可夫过程 1、马尔可夫性(无后效性) 过程或(系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t > t0所处状态的条件分布,与过程在时刻t0之前年处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。 即:过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。 2、马尔可夫过程的定义 具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。 用分布函数表述马尔可夫过程: 设I:随机过程{X(t),t\in T}的状态空间,如果对时间t的任意n个数值: 或写成: 这时称过程 3、马尔可夫链的定义 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 研究时间和状态都是离散的随机序列: 1、用分布律描述马尔可夫性 对任意的正整数n,r和 PXm + n = aj | Xm = ai,其中 2、转移概率 称条件概率Pij(m,m + n) = PXm + n = aj | Xm = ai为马氏链在时刻m处于状态ai条件下,在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。 说明:转移概率具胡特点: 由转移概率组成的矩阵 3、平稳性 当转移概率Pij(m,m + n)只与i,j及时间间距n有关时,称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。 此时,记Pij(m,m + n) = Pij(n),Pij(n) = PXm + n = aj | Xm = ai(注:称为马氏链的n步转移概率) P(n) = (Pij(n))为n步转移概率矩阵。 特别的, 当 k=1 时, 一步转移概率:Pij = Pij(1) = PXm + 1 = aj | Xm = ai。 一步转移概率矩阵:P(1) 设任意相继的两天中,雨天转晴天的概率为1/3,晴天转雨天的概率为1/2,任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态,以1表示雨天状态,Xn表示第n天状态(0或1)。试定出马氏链 解:由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为1/3,晴天转雨天的概率为1/2,故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为: 故5月1日为晴天,5月3日为晴天的概率为: 又由于: 故5月1日为晴天,5月5日为雨天的概率为:P01(4) = 0.5995 这人写的太好了,情不自禁的转载http://blog.sina.com.cn/s/blog_68c4a1b501015es8.html |
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