第四章 相似矩阵与矩阵对角化 |
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第四章 相似矩阵与矩阵对角化
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引言 题型总结中推荐例题有蓝皮书的题型较为重要，只有吉米多维奇的题型次之。码字不易，如果这篇文章对您有帮助的话，希望您能点赞、评论、收藏，投币、转发、关注。您的鼓励就是我前进的动力！ 知识点思维导图
补充： 特征值可以为零。说特征向量要指明是哪个特征值对应的特征向量。n阶上三角，下三角，对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。矩阵无除法。即 A − 1 B = 1 A B ≠ B A A^{-1}B=\frac{1}{A}B≠\frac{B}{A} A−1B=A1B=AB若λ是矩阵A的特征值，α是λ对应的特征向量，则 c α cα cα也是λ的特征向量。（c为常数） α 1 ， α 2 α_1，α_2 α1，α2是 A A A的特征向量，则 c 1 α 1 + c 2 α 2 c_1α_1+c_2α_2 c1α1+c2α2也是 A A A的特征向量。（ c 1 , c 2 c_1,c_2 c1,c2为常数）一个特征值可以对应多个特征向量，一个特征向量只能对应一个特征值。若A、B相似，则A、B同时可逆或同时不可逆。 易错点 书写特征方程式，一定要注意检查式子写的是否正确，这步出错了，后面就都会错。 题型总结 一、求特征值和特征向量 步骤： 1）列特征方程求出特征值。 2）取一个λ代入 A − λ E A-λE A−λE，并化为行最简形。 3）根据行最简矩阵，写出同解方程组。说明自由变量，令自由变量。 4）得基础解系，从而得特征向量。关于解特征方程方法： 1）不要完全展开，否则会得到三次方程。 2）把某行尽可能化为零，再按行展开。 3）提含λ的公因子。 4）注意相反数、相同数和行（列）之和相同。 二、实对称阵对角化 步骤： 1）求矩阵A的特征值。 2）求特征向量。 3）将特征值向量正交化、单位化。 4）正交单位向量作为列向量构成一个正交矩阵 P P P，可使 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P−1AP=Λ。（Λ是以A的特征值做为主对角线元素的对角阵）注意： 1）若三个特征值均为单根，那么对应特征向量已正交，直接单位化即可； 2）若为一个单根和两个重根，仅对两个重根进行正交化，再将三个一起单位化； 3）若为一个三重根，则三个都要正交化并单位化。 其余题型NULL 方法心得 施密特正交化的公式要记好。参考资料： ［1］安徽理工大学数学系. 线性代数（第三版修订）. 天津：天津科学技术出版社, 2019. ［2］安徽理工大学数学系. 线性代数、概率论与数理统计同步辅导习题（第二版）. 天津：天津科学技术出版社, 2016. ［3］张天德. 线性代数习题精选精解. 山东：山东科学技术出版社, 2009. ［4］《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师 |
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