介绍个效率点的做法，省掉你做初等变换解方程的麻烦，还能省掉做正交化的功夫。

解下面方程求对应 0 的特征向量

(A-0 E)x = 0

系数矩阵\begin{bmatrix} 0 &1& 1\\ 1 &1& -1\\ 0 &1& 1 \end{bmatrix} ，显然第三行可被前两行表示，那所求是与前两行垂直的向量，于是把前两行叉乘一下：

x = k((0,1,1)\times (1,1,-1)) = k(-2,1,-1)

解下面方程求对应 1 的特征向量

(A - 1 E)x = 0

系数矩阵 \begin{bmatrix} -1 &1& 1\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} ，显然第一行可被后两行表示，那把二三行叉乘一下：

x = k((1,0,-1)\times(0,1,0))=k(1,0,1)

再另外：如果方程像这样

\begin{bmatrix} 2 &3& -1\\ 0 &0& 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix} x = 0

就相当于求与 (2,3,-1) 垂直的子空间。你可以先“看”出一个和它垂直，也就是点乘得 0 的向量： (-1,1,1) ，然后有这两个向量可叉乘出最后一个向量： (2,3,-1)\times(-1,1,1)=(4,-1,5) ，所以 x = k_1(-1,1,1) + k_2(4,-1,5)

如果你已经求出前 2 个特征向量，也知道最后一个特征向量和前两个正交（例如属于不同的特征值），那也可以由前 2 个叉乘出来。