虚圆点定义 在无穷远直线上有两个点： I = ( 1 , i , 0 ) T , J = ( 1 , − i , 0 ) T I=(1,i,0)^T, J=(1,-i,0)^T I=(1,i,0)T,J=(1,−i,0)T，称为虚圆点。 这两个点可以验证，在相似变换下不变： I ′ = H S I = [ a c o s θ − a s i n θ t x a s i n θ a c o s θ t y 0 0 1 ] ( 1 i 0 ) = a e − i θ ( 1 i 0 ) = I I' = H_S I = \left[ \begin{matrix} acos\theta & -asin\theta & t_x \\ asin\theta & acos\theta & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left( \begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix} \right) = ae^{-i\theta} \left( \begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix} \right) = I I′=HS​I=⎣⎡​acosθasinθ0​−asinθacosθ0​tx​ty​1​⎦⎤​⎝⎛​1i0​⎠⎞​=ae−iθ⎝⎛​1i0​⎠⎞​=I 结论：在射影空间中，当且仅当（保向）相似变换下，虚圆点保持不动。（逆向则I，J交换位置）

虚圆点的来源 对于任意圆： x 2 + y 2 + d x z + e y z + f z 2 = 0 x^2+y^2+dxz+eyz+fz^2=0 x2+y2+dxz+eyz+fz2=0，它与无穷远直线相交（z=0）： x 2 + y 2 = 0 x^2+y^2=0 x2+y2=0，解得虚圆点I，J。 也就是说，任意圆都与无穷远直线相交于虚圆点，也就解释了为什么欧式几何中，圆是三个自由度而射影几何中圆和椭圆等价有五个自由度：圆是三个点加两个虚圆点。

虚圆点的对偶二次曲线 虚圆点可以看作方程 x 2 + y 2 = 0 x^2+y^2=0 x2+y2=0，是一条退化二次曲线。它有对偶二次曲线 C ∞ ∗ = I J T + J I T C^*_{\infty}=IJ^T+JI^T C∞∗​=IJT+JIT ，是由以虚圆点为中心的两条平行直线束构成的。同样的，在相似变换下，该对偶二次曲线不变。

图像的度量性质 在射影几何中，两直线的欧式夹角可以用下式表示： c o s θ = I T C ∞ ∗ m ( I T C ∞ ∗ I ) ( m T C ∞ ∗ m ) cos\theta = \frac{I^TC^*_{\infty}m}{\sqrt{(I^TC^*_{\infty}I)(m^TC^*_{\infty}m)}} cosθ=(ITC∞∗​I)(mTC∞∗​m) ​ITC∞∗​m​ 这个式子说明，一旦确认了射影平面上的对偶二次曲线 C ∞ ∗ C^*_{\infty} C∞∗​，就可以测量欧式角，也就是恢复了射影变换对于夹角的失真，恢复了仿射性质。

用 C ∞ ∗ C^*_{\infty} C∞∗​进行度量校正 对于一个射影变换H，根据其链式分解，对于 C ∞ ∗ C^*_{\infty} C∞∗​的像为： C ∞ ∗ ′ = ( H P H A H S ) C ∞ ∗ ′ ( H P H A H S ) T = [ K K T K K T v v T K K T v T K K T v ] C^{*'}_{\infty} = (H_PH_AH_S)C^{*'}_{\infty}(H_PH_AH_S)^T = \left[ \begin{matrix} KK^T & KK^Tv \\ v^TKK^T & v^T KK^T v \end{matrix} \right] C∞∗′​=(HP​HA​HS​)C∞∗′​(HP​HA​HS​)T=[KKTvTKKT​KKTvvTKKTv​] 其中射影成分（v）和仿射成分(K)可以由该像直接确定，但相似成分未知。 一个简单的反变换方法，是对 C ∞ ∗ ′ C^{*'}_{\infty} C∞∗′​做SVD分解： C ∞ ∗ ′ = U [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ] U T C^{*'}_{\infty} = U \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]U^T C∞∗′​=U⎣⎡​100​010​000​⎦⎤​UT U就是对应的校正射影变换。