复数的三角形式与指数形式 |
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在中学,我们已经学习过复数及其用代数形式a+bi表达的四则运算法则及算律。在《大学数学》中我们学习过建立在实数集合上的微积分——称为实分析;同样,在复数集合上也可以讨论函数、导数、微分、积分等问题,这就是大学数学本科(或研究生)专业里一门必修课《复变函数》,因此我们有必要对复数了解得更多些。 1. 复数的三角形式 1.1 复数的幅角与模我们知道复数a+bi对应着复平面上的点(a, b),也对应复平面上一个向量(如下图所示): 这个向量的长度叫做复数a+bi的模,记为|a+bi|,一般情况下,复数的模用字母r表示。同时,这个向量针对x轴的正方向有一个方向角,我们称为幅角,记为arg(a+bi),幅角一般情形下用希腊字母θ表示。在实轴X与虚轴Y正交的前提下:
把它们代入复数的代数形式得:
我们把式(2)叫做复数 引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。 1.2.1 复数的乘法设: 则: 这说明,两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量 设: 则: 这说明,两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行:将向量 利用复数的乘法不难得到: 这说明,复数的n次方等于它模的 对于复数 设: 那么:: 所以: 即: 显然,当k从0依次取到n-1,所得到的角的终边互不相同,但k从n开始取值后,前面的终边又周期性出现。因此,复数z的n个n次方根为: 从求根公式可以看出,相邻两个根之间幅角相差 因此,求一个复数z的全部n次方根,可以用下面的几何手段进行: 先作出圆心在原点,半径为 在对复数三角形式的乘法规则讨论中,我们发现,复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法(模相乘,幅角相加),这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现,对数函数与指数函数: 前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加;后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。从形式上看,复数的乘法与指数函数的关系更为密切些: 根据这个特点,复数 (1)反映复数本质特征的三个因素:模r、幅角θ、虚数单位i应各自摆放在什么位置? (2)在这些位置上它们应呈现什么形态? (3)作为指数形式的底应该用什么常数? 再重新观察下面的等式: 首先,显然模 等式右边是实数,对于任意虚数而言,这是不可能的。因此幅角θ也应该占据指数的位置。这样第二个问题就产生了:它与幅角一起在指数的位置上是什么关系?(相加?相乘?) 幅角 现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合: 乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的 下面我们将
所以 这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式——指数式 从复数的模与幅角的角度看,复数的指数形式其实是三角形式的简略化,对于指数形式的严格证明可以参读《复数的指数形式的证明》 由复数的三角形式与指数形式,我们很容易得到下面的两个公式: 这两个公式被统称为欧拉公式;在复数的指数形式中,令
它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起:两个超越数——自然对数的底 利用复数的三角形式,我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点,我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。 3.1 三角级数求和求解 解:令 另一方面由等比数列的定义可知: 所以: 分析:此题若用一般解析几何的方法寻找点M与N之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。 设M、N、A对应的复数依次为: 那么向量AM可以用向量AN绕A点逆时针旋转300度得到,用复数运算来实现这个变换就是: 假设结论不成立: 三个向量 |
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