航空发动机的诸多性能与航空发动机的装配质量，装配效率密切相关[1]。装配是发动机制造过程中最为重要的环节之一[2]，航空发动机装配成本占发动机成本的40%，装配工作量占整体工作量的50%[3]。选择装配法能够在零部件按照经济精度加工时，仍然可以获得较高的装配精度，因此成为航空发动机等精密复杂机械的常用装配方法。所谓选择装配是指通过检测和挑选待装零配件，有选择性地进行装配，以达到较高装配精度的一种装配方法。在航空发动机等一些高精度装配体上，存在多个需要同时保证的装配功能要求，称为多质量要求[4]。因此，航空发动机选择装配往往是一个多目标优化问题，与单目标优化结果不同的是多目标优化希望获得的是一组丰富度高，分布均匀的解。

第二代带精英保留策略的NSGA2(non-dominated sorting genetic algorithm2) 快速非支配排序算法，基于拥挤距离的分布性方法和精英保留策略，凭借简单、高效等优点，在多目标优化领域中得到广泛的应用。张守京等[5]提出基于拥挤度的自适应交叉算子，引进竞争选择机制，保证解集的多样性；Bin等[6]采用自适应交叉和变异的方法，提高了算法的收敛速度和搜索能力；Xu等[7]采用正交设计和累积排序策略改进了NSGA2算法，并以尾灯支架装配为例，证明改进的NSGA2算法具有明显的优化效果；Baviskar等[8]提出两种基于渐进式步长机制的算法，并与现有非支配排序遗传算法的搜索方式相结合，通过控制步长和分割数目，在下一代中产生更好的染色体，实现快速收敛。张晓娟[9]提出一种链式智能体遗传算法CAGA(chainlike agents genetic algorithm)，通过引入动态邻域竞争、邻域正交交叉、自适应变异等提高了算法的收敛速度。

以上研究在一定程度上改善了NSGA2算法的优化性能，但依然存在一些不足。在航空活塞发动机活塞与缸体的选择装配过程中，由于部分零部件的尺寸数据一致，必然存在相同的选配结果。相同个体经基因重组后不会改变基因结构，从而产生大量的重复个体。笔者针对NSGA2算法的精英保留策略无法抑制个体大量重复，造成解集多样性降低这一缺陷，提出一种基于拥挤度与种群丰富度相结合的子代精英保留策略。在零件装配中，由于零件尺寸不能更改的限制，本文提出仅在邻域圆环上的近邻搜索方式，提高了非支配解集的收敛性能，探究出一种适合航空活塞发动机选择装配的NSGA2算法。

假设有一批零部件进行装配，装配完毕之后有n组零部件装配合格，则装配合格数为n。

零件的装配精度以田口质量损失来度量，装配的质量损失常采用具有望目特性的田口质量损失模型，具有望目特性的田口质量损失模型可以保证配对公差是否落在设计公差带以内，对于满足设计公差的配对，理论上越靠近理想配合值的配对拥有更好的稳定性，对产品造成的质量损失也会最小[10-12]。田口质量损失模型如下：

式中：T示公差带宽度，y表示实际配合公差，o表示最佳配合值，λ∈[0, 1]表示配合值处于设计公差带边缘的可接受程度，[o－αT, o+βT]表示设计公差带的范围。

在某航空活塞发动机中，设计要求缸体与活塞间隙范围为0.11~0.13 mm，取中间值0.12 mm为最佳配合o值，则α=β=0.5，公差带宽度T为0.02 mm，λ取1。在本文中以装配合格的零部件的平均质量损失来表征装配精度。

在航空活塞发动机装配中，只需考虑装配合格部分的平均装配精度q1(X)：

式中：X表示一批零部件的某一选配组合，N表示参与装配的零件组数，n表示装配合格的零件组数。因此q1(X)越小，X的装配精度越高。由式(1)(2)以及装配合格数n建立多目标化模型：

其中，X∈Ω，Ω表示解空间。

NSGA2算法基于非支配排序[13-14]将种群个体进行分层，对每层个体进行适应度分配，第一支配层级的适应度最高，然后依次降低，从而保证下一子代的优良性，提高算法进化效率。同时，采用外部存档机制的精英保留策略，结合拥挤度和支配层级筛选个体，具有良好的收敛性，得到的非支配解集分布也较为均匀。算法操作细节如下：

1) 构造初始种群S0，设置算法控制参数(交叉概率Pc，变异概率Pm，最大进化代数g1，初始进化代数g=0，初始种群个体数目L)，清空外部存档种群S1。

2) 计算初始种群每个个体的装配合格率η和装配合格个体平均质量损失q，利用Pareto支配原理进行分层。

3) 对每层个体赋予适应度值P(i)，非支配层级高的适应度大，低的适应度小。

4) 根据适应度值选择个体，对选择的个体进行交叉和变异，再次计算每个个体的装配合格数n和装配合格个体平均质量损失q，利用Pareto支配原理进行分层F1, F2, …, Fm。基于个体的支配层级和拥挤度选择个体。

5) 将筛选出的个体存入外部种群S1，作为下一代亲代继续进化。

6) 判断是否达到最大进化代数g1，如果没有，返回第(2)步，如果达到最大进化代数，则输出种群中最高支配层级F1的所有相异个体。

适应度函数构造的基本准则是非支配层级高的个体适应度大，被选中的概率高，所有非支配层级的适应度值的和为1。因此以某一大于1的正整数a为底，非支配层级i为指数的指数函数来构造适应度函数P(i)。

式中m表示种群总层级数。由公式(4)可知，a越大非支配层级高的个体被选中的概率就越高，算法进化速度就越快，但是不利于种群多样性的维护，算法易陷入局部收敛，因此a的取值不宜过大。当初始种群规模为50时，a取不同的值非支配解集中相异个体的数量如表 1所示。

因此存在个体重复现象且重复个体处于较高支配层级时，a的取值应尽可能小，这里取a=2。

NSGA2的精英保留策略如图 2所示。

如图 2所示，将亲代Pt与子代Qt合并得到Rt，应用Pareto支配原理将Rt中的个体分为m层，即F1, F2, …, Fm，每层包含的个体数量为n1, n2, …, nm，显然有n1+n2+…+nm=N，其中N表示Rt中的所有个体的数量。由于支配层级高，处于第一和第二支配层级的所有个体F1, F2全部存入外部存档种群Pt+1，然后再在第三支配层中利用拥挤度比较选出N/2-n1-n2个个体加入外部存档种群，其中N/2表示外部存档种群Pt+1的数量。

下面给出NSGA2精英保留策略中常用的两个基本定义。

定义1(个体拥挤度)为了测算某点附近其他个体的聚集程度，定义变量idistance(拥挤度)，表示覆盖个体i但不覆盖其他点的矩形面积，而同一支配层级首尾两端个体的拥挤度定义为无穷大。如图 3[9]所示。

定义2(拥挤度比较算子)拥挤度比较算子，用于搜寻分布均匀的个体，两个体i和j的比较逻辑如下[9]。