上三角行列・下三角行列の定義と性質6つ |
您所在的位置：网站首页 › 行列式上三角和下三角的区别 › 上三角行列・下三角行列の定義と性質6つ |
上三角行列・下三角行列の定義と性質6つ
|
正方行列における，上三角行列・下三角行列の定義とその性質6つを紹介します。 上三角行列・下三角行列（三角行列）の定義上三角行列・下三角行列（三角行列）の具体例三角行列の性質正方行列は三角化可能その他の行列 上三角行列・下三角行列（三角行列）の定義定義（上三角行列・下三角行列） A = (a_{ij}) を正方行列とする。 \color{red} i > j \implies a_{ij} = 0 が成立するとき，すなわち \color{red} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ & a_{22} &\dots & a_{2n} \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn} \end{pmatrix}のとき，これを上三角行列 (upper triangular matrix) あるいは右三角行列 (right triangular matrix) という。 逆に， \color{red} i < j \implies a_{ij} = 0 が成立するとき，すなわち \color{red} A = \begin{pmatrix} a_{11} &&& \huge{0}\\ a_{21} & a_{22} \\ \vdots& & \ddots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}のとき，これを下三角行列 (lower triangular matrix) あるいは左三角行列 (left triangular matrix) という。 上三角行列・下三角行列を合わせて三角行列 (triangular matrix) という。 
対角成分より下が 0 となる行列を上三角行列，対角成分より上が 0 となる行列を下三角行列というんですね。 上三角行列・下三角行列（三角行列）の具体例簡単な具体例を挙げておきましょう。 三角行列の具体例 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} は上三角行列。 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} は下三角行列。対角行列は上三角行列かつ下三角行列。零行列や単位行列は上三角行列かつ下三角行列。 三角行列の性質性質を挙げましょう。 定理（三角行列の性質） A = (a_{ij}),\, B=(b_{ij}) を n 次の上三角行列とする。このとき， 上三角行列の和・定数倍もまた上三角行列である。 AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & * & \dots & * \\ & a_{22}b_{22} &\dots & * \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn}b_{nn} \end{pmatrix}.特に，上三角行列の積もまた上三角行列である。 A^\top は下三角行列である(転置行列)。 \det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}. (行列式) a_{ii} \ne 0 \,\, (1 \le i \le n) のとき， A^{-1} は A^{-1} = \begin{pmatrix} a_{11}^{-1} & * & \dots & * \\ & a_{22}^{-1} &\dots & * \\ &&\ddots & \vdots \\ \huge{0}&&&a_{nn}^{-1} \end{pmatrix}の形をしている。特に，上三角行列の逆行列は上三角行列である。 A の固有値は a_{11}, a_{22}, \dots , a_{nn} である。なお，すべての主張は「上三角行列」と「下三角行列」の言葉を入れ替えても全く同様に成立します。 証明は簡単なので省略します。 正方行列は三角化可能任意の正方行列は三角行列と相似であることが知られています。すなわち，任意の正方行列 A に対し，ある正則行列(可逆行列) P が存在して，P^{-1}AP は上三角行列にすることが可能です。 これについては，以下で解説しています。  【行列の三角化】正方行列は三角行列と相似であることの証明任意の正方行列は，上三角行列と相似であることが知られています。これの証明を詳しく解説しましょう。 さまざまな行列48個一覧名前の付いた，さまざまな行列をまとめます。本サイト内で解説のあるものは，そのリンクを一緒に載せます。 |
【本文地址】
今日新闻 |
推荐新闻 |