泛函分析（七）第六章 线性算子的谱理论 |
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泛函分析（七）第六章 线性算子的谱理论
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参考视频71-78讲 《泛函分析教材》孙炯 第六章 线性算子的谱理论 线性算子的谱理论在基础研究和应用研究中均占据着重要的位置。Banach空间上线性算子谱点的概念是有限维矩阵特征值概念的推广。 谱理论对于了解和刻画线性算子是十分重要的。 对于有限维空间X上的钱性算子A，A的谱点就是特征值。空间X按这些特征值可以分解成若干个关于这个算子的不变子空间。线性算子的谱（特征值）从本质上刻画了线性算子的作用方式。线性算子的谱还反映了线性算子有没有逆算子；在什么范围有逆算子（有没有解，是否唯一），逆算子是否连续（解是否稳定）等一系列问题。（视频p71） 在无穷维空间中，线性算子的谱理论要比有线维空间的情况复杂得多，线性算子的谱不仅仅包含特征值，还可以有连续谱、剩余谱等。（视频p71） 本章主要内容： 线性算子谱的定义、谱的分类、谱的性质；（定义）有界线性算子的谱集是非空的有界闭集；（性质）有界自共轭线性算子的谱分析；（对称性）紧线性算子的谱分析。（紧线性算子，因为它是有限维的，有可数无穷多个特征值）6.1 谱集和正则点集 6.1.1 谱集和正则点集C = 正则点集 + 谱集{点谱、连续谱、剩余谱} 1.正则点集、谱集的定义 空间：Banach空间，T：线性算子正则点集：\lambda I-T 的值域在 X 中稠密、\lambda I-T有连续的逆算子，记为 \rho(T) 预解集：若 \lambda I-T 有逆算子，称 (\lambda I-T)^{-1} 为预解集，记作 R_\lambda(T) 谱集：正则点的补集 \sigma(T)=C - R(T) 线性算子：有界线性算子和无界线性算子都适用 稠密：juliar：泛函分析（二）第一章 距离空间 1.3.3中有，说明 X\subset \overline{\lambda I-T} ，闭包是接触点的全体注：在这个定义中，未要求T是有界线性算子， D(T) 不一定是全空间。【无界线性算子不能定义在全空间上】 在定义6.1.1中，也就是将复平面上的点分成两类：正则点集、谱点集。 谱点集 \sigma(T) 是由那些使\lambda I-T没有定义在全空间上的有界的逆算子的复数 \lambda 全体组成。 2.谱集的分类：点谱、连续谱、剩余谱 对于正则点集，首先\lambda I-T 的值域在 X 中稠密，其次 \lambda I-T 有逆算子，再次是逆算子连续，不同时满足这三个条件的，是谱集，所以下面分几类情况：1 不是一对一，也就是\lambda I-T 没有逆算子（p——point）2 逆算子不连续（c——continue）3 \lambda I-T 的值域在 X 中不稠密（r——remain） |
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