集合论体系 :

集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;

列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 : A = { 0 , 1 , 2 , 3 } A = \{0, 1, 2, 3\} A={0,1,2,3} , B = { 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯   } B = \{0, 1, 2, 3, \cdots\} B={0,1,2,3,⋯}

描述法 : 使用 谓词 P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 具有性质 P P P , 使用 { x ∣ P ( x ) } \{x | P(x)\} {x∣P(x)} 表示具有性质 P P P 的集合 ;

P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 是英文字母 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \} {x∣P(x)} 表示英文字母集合 ;

P ( x ) P(x) P(x) 表示 x x x 是偶数 , { x ∣ P ( x ) } \{ x | P(x) \} {x∣P(x)} 表示偶数集合 ;

集合表示注意事项 :

不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;

无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;

集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;

表示方法转化示例 :

列举法 : A = { 0 , 2 , 4 , 6 , ⋯   } A=\{ 0, 2, 4 , 6 , \cdots \} A={0,2,4,6,⋯}

描述法 : A = { x ∣ x ≥ 0 并 且 x 是 偶 数 } A = \{ x | x \geq 0 并且 x 是偶数 \} A={x∣x≥0并且x是偶数}

自然数集合 : N = { 0 , 1 , 2 , ⋯   } N = \{ 0, 1 , 2 , \cdots \} N={0,1,2,⋯}

整数集合 : Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   } Z = \{ 0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \} Z={0,±1,±2,⋯}

有理数集合 : Q Q Q

实数集合 : R R R

复数集合 : C C C

集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;

集合的包含关系 :

描述 : A , B A, B A,B 两个集合 , 如果 B B B 中的元素 都是 A A A 中的元素 , 称 B B B 集合 是 A A A 集合的 子集 , A A A 包含 B B B , B B B 包含于 A A A ;

记作 : B ⊆ A B \subseteq A B⊆A

符号化形式 : B ⊆ A ⇔ ∀ x ( x ∈ B → x ∈ A ) B \subseteq A \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \to x \in A ) B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A) , 对于所有的对象 , 只要属于 B B B 集合 , 就属于 A A A 集合 ;

集合的不包含关系 :

描述 : 如果 集合 B B B 不是 集合 A A A 的子集

记作 : B ⊈ A B \not\subseteq A B​⊆A ;

符号化形式 : B ⊈ A ⇔ ∃ x ( x ∈ B ∧ x ∉ A ) B \not\subseteq A \Leftrightarrow \exist x ( x \in B \land x \not\in A ) B​⊆A⇔∃x(x∈B∧x​∈A) , 对于所有的对象 , 存在对象属于 B B B 集合 , 不属于 A A A 集合 ;

包含示例 :

A = 1 , 2 , 3 , 4 A = {1, 2, 3, 4} A=1,2,3,4 , B = 1 , 2 , 3 B = {1, 2, 3} B=1,2,3 , C = 1 , 2 C = {1, 2} C=1,2

有 C ⊆ B C \subseteq B C⊆B , C ⊆ A C \subseteq A C⊆A , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A

集合的相等关系 :

描述 : A , B A, B A,B 两个集合 , 如果 A A A 包含 B B B , 并且 B B B 包含 A A A , 则称 A A A 与 B B B 相等 ;

记作 : A = B A = B A=B

符号化表示 : A = B ⇔ ∀ x ( x ∈ B ↔ x ∈ A ) A = B \Leftrightarrow \forall x ( x \in B \leftrightarrow x \in A ) A=B⇔∀x(x∈B↔x∈A)

集合间包含关系性质 : 下面的 A , B , C A, B, C A,B,C 是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;

自反性 : A ⊆ A A \subseteq A A⊆A , 集合真包含它自己 ;

反对称性 : 若 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B 且 B ≠ A B \not= A B​=A , 则 B ⊈ A B \not\subseteq A B​⊆A ( 该性质等价于 若 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B 且 B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , 则 A = B A = B A=B )

传递性 : 若 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B 且 B ⊆ C B \subseteq C B⊆C , 则 A ⊆ C A \subseteq C A⊆C