张 峰，高华睿，赵国浩

(1. 山东大学岩土与结构工程研究中心，山东济南 250061；2. 山东高速建设管理集团有限公司，山东济南 250002)

预应力混凝土梁(PC)的抗剪试验变量多，试件加工复杂，临界斜裂缝倾角严重影响抗剪承载力的计算结果。斜裂缝倾角不同，裂缝穿过的箍筋数量不同；斜裂缝的倾角影响斜裂缝面上的混凝土骨料咬合力，进而影响抗剪试验结果。肖光宏等[1]试验研究认为，施加预应力能提高斜截面抗剪强度，预应力降低了斜缝倾角，增加了混凝土剪压区的高度，并改善了骨料咬合性能，因而综合提高了混凝土的抗剪能力，通常可提高10%～30%。彭天明等[2]认为预应力对抗剪强度的提高一般为20%～30%。因此，PC梁斜裂缝倾角会影响箍筋与混凝土的传力机理，是PC梁抗剪承载力分析无法避开的重要参数。

已有规范对于预应力混凝土梁斜裂缝倾角的定义方法有所差异。AASHTO规范[3]给出了PC梁斜裂缝倾角的计算公式，公式中将裂缝倾角和纵向预应力作用下梁体1/2梁高位置的应变联系起来，该方法被加拿大规范[4]采用。中国公路桥梁规范认为斜裂缝的水平投影长度等于0.6倍的广义剪跨比和梁截面有效高度的乘积。车惠民等[5]通过试验研究发现，PC梁的剪跨比为3时，2片试验梁斜裂缝的投影长度为1.5倍有效梁高，其计算需要通过迭代方能最终准确确定斜裂缝的倾角，过程繁琐。中国《混凝土结构设计规范》[6]对集中荷载和均布荷载作用下的抗剪承载力分别给了设计条文，其中集中荷载作用下含有剪跨比参数，但是斜裂缝的倾角均采用45°近似，ACI规范[7]亦采纳45°角度。Pan等[8]提出了RC梁的斜裂缝倾角计算公式，裂缝倾角仅和纵向钢筋和箍筋配筋率相关，计算公式突破了以往计算公式需要迭代计算的缺陷，但是仅针对RC梁，对PC梁的适用性还有待深入研究。孟少平等[9]对GB 50010—2010规范、ACI规范、加拿大CSA规范的抗剪条文进行了介绍，其中ACI规范通过查表来确定斜裂缝的倾角。

对于确定PC梁斜裂缝的角度，试验研究是最为有效的方法。张开敬等[10]认为，随预应力值的增加，剪跨内第一条斜裂缝在中性轴附近的倾角逐渐减小。鲍旭初等[11]针对20 m后张法宽幅空心板梁单梁开展抗剪破坏试验，给出了不同荷载等级下的裂缝扩展变化规律。De Silva等[12]对3片RC工字梁和4片PC工字梁开展了试验研究，重点分析了预应力大小、混凝土保护层厚度、箍筋间距、箍筋的黏结特性及纵向钢筋配筋率对裂缝宽度的影响。研究表明：预应力有效降低了裂缝宽度，提出了裂缝宽度的计算表达式。De Wilder等[13]对11根矩形梁和12根工字形梁采用分配梁加载，研究了PC梁的抗剪性能，给出了最终的斜裂缝图形，发现已有的抗剪承载力预测结果和试验结果偏差较大，试验值和预测值比值的平均值达到1.77，变异系数达到0.316。Di等[14]对20、16、10 m的PC先张法空心板梁进行了抗剪破坏试验，其中7片梁给出了最终裂缝扩展照片。Zheng等[15]针对活性粉末粉煤灰混凝土梁开展抗剪试验研究，对8片PC预应力混凝土T梁进行了试验加载和理论研究。Wang等[16]给出了4片15.6 m计算跨径的PC空心板梁的抗剪试验测试结果，并结合拱-桁架模型提出了PC梁的抗剪承载力计算公式。Kim[17]对6片T形PC梁开展抗剪试验，发现弯起预应力钢束对裂缝控制更为有效，需要进一步重视正常使用阶段斜裂缝对服役性能的影响。贾艳敏等[18]统计了3片16 m的PC空心板梁抗剪破坏时斜裂缝的角度。胡勇[19]设计了4根缩尺比为1∶2的预制装配整体式混凝土梁和2根现浇混凝土梁，通过两点静力对称加载的方法对其抗剪性能进行了研究分析，统计了3片PC梁的裂缝扩展图。

综上所述，可得到以下结论：

(1)PC梁抗剪分析中预应力对梁体抗剪能力的提升程度有差别。

(2)不同的规范对斜裂缝倾角定义差异较大，有的规范直接给出为45°(ACI规范、GB 50010—2010规范)，有的规范给出了较为复杂的表达式(AASHTO规范)，有的规范定义给计算带来不便，需要迭代计算。已有研究提出了简化的斜裂缝倾角计算公式，但是仅针对RC梁，对PC梁的适用性存疑。

PC梁的斜裂缝倾角计算差异较大，本文基于PC空心板梁抗剪试验的15个斜裂缝倾角样本，结合已有的文献试验测试结果，基于Bayesian后验概率分布，提出对已有斜裂缝倾角的修正计算概率模型，为同类型研究提供借鉴。

贝叶斯定理通过机器学习，将先验概率分布转化为后验分布[20]。

贝叶斯基本公式为[21]

(1)

式中：H为假设；D为数据；p(H)为先验概率；p(D)为边缘概率；p(D|H)为后验概率。

如果先验分布不是共轭先验分布，那么后验分布往往不再是标准的分布。因此，需要计算的后验分布数字特征往往没有显式表达，这就需要一些特殊的方法。

图1接受-拒绝采样Fig.1Accept-reject Sampling

使用接受-拒绝采样，可以解决一些概率分布不是常见的分布，得到其采样集并用蒙特卡洛方法求和，但是接受-拒绝采样也只能部分满足需求，在很多时候还是很难得到需要的概率分布样本集。比如对于一些高维的复杂非常见分布p(x1,x2,…,xn)，要找到一个合适的q(x)和k非常困难。

贝叶斯分析主要是通过马尔科夫链-蒙特卡洛(Markow Chain Monte Carlo,MCMC)方法进行。相比接受-拒绝采样方法，MCMC方法的采样效率更高。M-H(Metropolis-Hastings)是MCMC方法的易用版，算法过程如下[20]：

(1)输入任意选定的马尔科夫链状态转移矩阵Q，平稳分布π(x)，设定状态转移次数阈值n1和需要的样本个数n2。

(2)从任意简单概率分布采样得到初始状态值x0。

He等[22]斜裂缝倾角θu采用公式(2)、(3)计算。

θu=arccot-1[0.18-0.63ln(ω)]

(2)

(3)

图2统计了有腹筋梁斜裂缝角度的计算结果。分析图2可以看出：对于有腹筋梁而言，斜裂缝角度预测值θp和试验值θt比值的平均值为0.88，标准差为0.12，总体预测效果较好，故将He公式作为裂缝公式的先验模型。

图2He公式计算结果分布Fig.2Distribution of Calculation Results of He Formula

He公式表明，斜裂缝的倾角和箍筋配筋率、箍筋强度和混凝土强度相关，而斜裂缝的倾角还和预应力及剪跨比密切相关。

Naaman[23]提出了指标IPPR，描述预应力的影响，采用公式(4)进行计算。

(4)

式中：As为受拉钢筋的截面面积；Aps为钢绞线的截面面积；fps为钢绞线的屈服应力；fy为受拉钢筋的屈服应力。

已有文献研究表明：初始预应力越大，斜裂缝倾角越小。IPPR参数使用了预应力钢绞线的屈服应力参数，无法体现初始有效预应力的影响。因此，本文提出修正的PR指标，描述预应力的影响，即

最后是公安信息化的效用问题。公安信息化并没有减轻基层民警的负担，提高基层警务的效能，反而，层出不穷的信息系统和信息采集大会战，逼迫基层民警重复采集、重复录入，与此形成鲜明对比的是:在我们建起的貌似浩如烟海的海量数据库面前，民警却找不到有用的数据，增加的只是负担，而没有品尝到信息化的“甜头”，于是乎应付和造假不可避免，你搞你的采集大会战，我玩我的倒库游戏，在这种现象面前，我们先不要责怪民警的素质低，而要深刻反思为什么公安信息化没有发挥出应有的效能?是不是我们的组织和建设出现了问题?

(5)

式中：fpo为钢绞线的初始预应力。

根据规范[24]的描述，截面尺寸等一般可以用确定参数分析，钢筋强度变异系数取值为0.08，混凝土强度(C30等级以上的混凝土)变异系数取值为0.12。

(6)

式中:σ为模型进行修正后仍存在的误差;ε为正态随机变量。

更新He等[22]斜裂缝倾角计算公式为

2k4arccot[0.18-0.63ln(ω)]

(7)

式中：k1、k2、k3、k4为待定系数。

由图3可知，该后验分布密度函数曲线接近于正态分布的函数曲线，参数估计值会在最大概率处取到它的固定值。利用PYMC3模拟出来的马尔科夫链在运行5 000次迭代分析后，后验样本会趋于一个固定值，表明该链最终达到收敛，该值就是待估参数的统计值。计算得到的4个待定系数见表1。

表1待定系数计算结果Table 1Calculation Result of Undetermined Coefficient

将待定系数平均值代入式(7)，得到修正后的斜裂缝倾角后验模型式(8)。

20.61arccot[0.18-0.63ln(ω)]

(8)

根据式(8)计算修正后的斜裂缝倾角，预测结果见表2。依据表2的数据分析He公式计算值和实测值的比值，结果见图4。

分析图4可以得到：

(1)He公式预测值和试验值比值的均值和变异系数分别为0.68和0.26，而经过贝叶斯修正后，所得的预测值和试验值比值的均值和变异系数分别为0.98和0.25。二者方差接近，说明离散程度相同，而后者的均值更接近1，说明修正后的斜裂缝倾角更接近试验值。

(2)本文建议模型的计算值与试验值吻合良好，经过修正后的裂缝倾角较原公式计算结果更接近试验值。先验模型计算值与贝叶斯更新后的计算值整体分布相近，说明了贝叶斯方法很好地继承了历史先验模型及参数先验信息的发展趋势，这可避免试验数据的离散性对模型准确性的过大干扰。同时，贝叶斯模型与历史先验模型有一定的偏离，这种偏离正是贝叶斯方法较好地利用了自然信息准确性好的优势，对先验信息进行更新，使更新后的预测结果更加接近试验结果[27]。

本节基于预应力混凝土空心板梁的试验测试结果，进行斜裂缝倾角的计算。

先张法预应力混凝土空心板梁截面形状复杂，预应力对抗剪性能提升无法准确确定，抗剪性能影 响因素多，有必要进一步开展研究。基于既有高速公路改扩建项目拆除的10、13、16、20 m跨径先张法预应力混凝土空心板梁，开展PC梁斜裂缝倾角后验模型验证，梁横截面(无铺装)见图5。

图3模型参数的模拟轨迹图和后验密度图Fig.3Simulation Trajectory Diagram and Posterior Density Diagram of Model Parameters

图4预测值和试验值的比值Fig.4Ratio of Predicted Value to Test Value

基于2 000 kN液压伺服加载系统，采用位移加载方式对试验梁进行分级加载，共进行15次抗剪试验，试验装置见图6、7。

统计试验得到的PC空心板梁斜裂缝倾角，见表3。通过表3可以看出，剪跨比、有效预应力参数的不同均会引起PC梁斜裂缝的差异。

基于PC空心板梁抗剪试验得到的斜裂缝倾角，对本文提出的后验模型[式(8)]进行验证，计算 结果见表4。统计PC梁斜裂缝倾角后验模型计算值和试验值的比值，见图8。

表2He公式计算结果Table 2He Formula Calculation Results

图5PC梁横截面示意图(单位:cm)Fig.5Schematic Diagram of PC Beam Cross Section (Unit:cm)

图6加载装置Fig.6Loading Equipment

从图8可以看出，He公式预测值和试验值比值的均值和变异系数分别为0.57和0.19，本文提出 的PC梁斜裂缝倾角后验模型的预测值和试验值比值的均值和变异系数分别为0.81和0.21。二者方差接近，说明离散程度相同，但后者的均值更接近1，说明修正后的斜裂缝倾角更接近试验值，验证了斜裂缝倾角后验模型的准确性。

图7现场试验Fig.7Field Test

(1)本文基于Bayesian-MCMC方法，考虑箍筋配筋率、箍筋强度、混凝土抗压强度、剪跨比、有效预应力参数，针对预应力混凝土梁修正了已有的斜裂 缝倾角计算模型，通过先张法预应力混凝土空心板梁进行验证。结果表明本文所提公式对先张法预应力混凝土空心板梁具有较好的预测效果。

(2)基于已有文献计算得到的先验模型预测值和试验值比值的均值和变异系数分别为0.68和0.26，而经过贝叶斯修正后，所得的预测值和试验值 比值的均值和变异系数分别为0.98和0.25。二者方差接近，说明离散程度相同，而后者的均值更接近1，说明修正后的斜裂缝倾角更接近试验值。

表3试验梁斜裂缝倾角测试结果Table 3Test Results of Inclined Crack Angle of Test Beams

表4后验模型验证Table 4Posterior Model Validation

图8后验模型预测值和试验值比值Fig.8Ratio of Predicted Value to Test Value of Posterior Model

(3)基于PC空心板梁抗剪试验测得的斜裂缝倾角，对本文提出的后验模型进行验证。He公式预测值和试验值比值的均值和变异系数分别为0.57和0.19，后验模型的预测值和试验值比值的均值和变异系数分别为0.81和0.21。后验模型的预测值更接近试验值，能够更加准确预测PC梁斜裂缝倾角。

建筑科学与工程学报2022年5期