练习放在文末

注意H是非空子集

定理2常用

注意一下2元集

主要是具备最大上界，最小下届

这张图看一下就行了，不重要

变换，置换，考试应该不考

上面这个感觉有点问题吧，可能是打错了——

在第一个（1 2 3 4）中1后面跟着2，2后面跟着3，3后面跟着4，4后面回到1

奇、偶置换，交代群这个不重要

置换乘法（需要类比函数的合成）

如题

(18246573)

(1 2 3 4 5 6 7 8 9)

(8 4 1 6 7 5 3 2 9)

(132)(5648)

(1 2 3 4 5 6 7 8 9)

(3 1 2 8 6 4 7 5 9)

首先，逆序合成（如同函数合成）

接着，从第一个开始看：

第一个置换中1 下面对应 8

第二个置换中8 下面对应 5

（合成）乘法后的置换 1 下面对应 5

其他的以此类推

抽象地解释：

群G，子群H，根据H定义了一个G上的等价关系R，任意G中元素a，b，aRb if and only if ab^(-1)属于G，[a]=Ha，也会出现一个G的划分

选择e来确定子代数非空，其他的，讲不出什么，主要还是认真看看，这题有点难

（1）：

1.a^2自我循环8次，就变成了a^1，接着a^3……以此类推，所以a^2是生成元

2.a^3不是，因为a^3经过6次自我循环，又变成了a^3，所以不是

（其余的也是这个道理）

（2）：

子群需要满足零元运算，所以不难循环出单位元的，不能算作子群

子群格要注意最上方一般是本身，最下方是单位元子群，注意中间的是否可以比较

之前写得不太对，这题翻上去看看循环群那里的知识就可以轻松解决

[G:H]——H在G中的指数，即H左（右）陪集数（左右陪集数是相等的） 【来源于lagrange定理】

这题主要是回忆并熟悉一下lagrange定理的知识，题目本身不难

这题比较简单

这题比较简单，因为由题意易知，满足双射，所以主要是证明满足同态映射——*(xy)=*'(x)*'(y)（这题就把fai20fai1看作一个运算符）

这题第2问巧啊，有点巧妙，要做对这道题，得能够灵活运用函数的逆，好好看，好好学