1、1. 核衰变数和计数的统计分布2. 放射性丈量的统计误差放射性丈量中的统计学1放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介质中耗费能量产生电子离子对、质中耗费能量产生电子离子对、射线或中子与射线或中子与物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内事件发生的数目和某一事件发生可以的时辰都是随事件发生的数目和某一事件发生可以的时辰都是随机的，即具有统计涨落性。机的，即具有统计涨落性。放射性丈量中的统计学24.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布3在放射性丈量中，即使一切实验条件都是稳定的

2、，如源的放在放射性丈量中，即使一切实验条件都是稳定的，如源的放射性活度、源的位置、探测器的任务电压等都坚持不变，在射性活度、源的位置、探测器的任务电压等都坚持不变，在一样时间内对同一对象进展多次丈量，每次测到的计数并不一样时间内对同一对象进展多次丈量，每次测到的计数并不完全一样，而是围绕某个平均值上下涨落，这种景象称为放完全一样，而是围绕某个平均值上下涨落，这种景象称为放射性计数的统计涨落。射性计数的统计涨落。这种涨落不是有观测者的客观要素呵斥的，是放射性原子核这种涨落不是有观测者的客观要素呵斥的，是放射性原子核衰变的随机性引起的。在放射性核衰变中，衰变的随机性引起的。在放射性核衰变中，N0个

3、原子核在个原子核在某个事件间隔内衰变的数目某个事件间隔内衰变的数目n是不确定的，这就引起了放射是不确定的，这就引起了放射性丈量计数的涨落，它服从统计分布规律。性丈量计数的涨落，它服从统计分布规律。核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布4客观世界中许多景象都具有偶尔的性质，称为偶尔景象客观世界中许多景象都具有偶尔的性质，称为偶尔景象景象的偶尔性总是伴随着他的必然性一同出现的，偶尔性是景象的偶尔性总是伴随着他的必然性一同出现的，偶尔性是必然性的表现方式。必然性的表现方式。概率论与数理统计是一门研讨偶尔景象的规律性的学科概率论与数理统计是一门

4、研讨偶尔景象的规律性的学科有一类随机实验在今后要常遇到。这类随机实验只需两个能有一类随机实验在今后要常遇到。这类随机实验只需两个能够的结果，非此即彼，没有第三种结果出现的能够。这类随够的结果，非此即彼，没有第三种结果出现的能够。这类随机实验称作机实验称作“伯努利实验。伯努利实验。核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布5假定在假定在t0时辰有时辰有N0个不稳定的原子核，在某一时间个不稳定的原子核，在某一时间t内将有一部分核发内将有一部分核发生衰变。先思索一个原子核的情形。假设在某一短时间间隔生衰变。先思索一个原子核的情形。假设在某一短时间

5、间隔t内放射性内放射性原子核衰变概率原子核衰变概率pt与此原子核过去的历史和如今的环境无关，那么与此原子核过去的历史和如今的环境无关，那么pt正比于正比于t，因此：，因此：比例常数比例常数是该种放射性核素的特征值，该原子核经过是该种放射性核素的特征值，该原子核经过tt未发生率变未发生率变的概率是：的概率是：tpttpqtt11假设将时间假设将时间t t分为许多很短的时间间隔分为许多很短的时间间隔tt，那么，那么ttt/it/i，那么该原子，那么该原子核经过核经过2t2t发生衰变的概率为：发生衰变的概率为：2)1 ()1)(1 (ttt核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.1 4.1 核衰变数和计

6、数的统计分布核衰变数和计数的统计分布6经过经过t时间后未发生衰变的概率为：时间后未发生衰变的概率为：iiitt)1 ()1 (titeit)(1lim所以一个放射性原子核经过所以一个放射性原子核经过t t时间后未发生衰变的概率为时间后未发生衰变的概率为e-t,e-t,那么对那么对于于t t0 0时辰的时辰的N0N0个原子核，经过个原子核，经过t t时间后未发生衰变的原子核数目为：时间后未发生衰变的原子核数目为：teNN0，我们有：则令0,ti核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布7同样：假定在同样：假定在t0时辰有时辰有N0个不稳定的原

7、子核，在某一时间个不稳定的原子核，在某一时间t内将有一部内将有一部分核发生衰变。思索一个原子核的情形得到：一个放射性原子核经过分核发生衰变。思索一个原子核的情形得到：一个放射性原子核经过t时时间后未发生衰变的概率为间后未发生衰变的概率为e-t，任何一个核在，任何一个核在t时间内衰变的几率为：时间内衰变的几率为：未发生率变的概率是：未发生率变的概率是：tep1tepq1显然：显然：这样的情形服从二项式分布。这样的情形服从二项式分布。1qp核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布8放射性核衰变所服从的三种最根本的分布规律： 二项式分布 泊松分

8、布 高斯分布 1. 1. 二项式分布二项式分布即：即：放射性原子核的衰变可以看成是数理统计中的伯努利实验问放射性原子核的衰变可以看成是数理统计中的伯努利实验问题题; ;在在t t时间内发生核衰变数为时间内发生核衰变数为n n的概率为的概率为: :9nNnppnnNNnp0)1 (!)!(!)(00nNtnteennNNnp0)()1 (!)!(!)(004.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布普通的，对于任何一种分布有两个最重要的数字特征。普通的，对于任何一种分布有两个最重要的数字特征。数学期望值数学期望值E En n: :简称期望值，在物理中有时也称平均值用简称期望值

9、，在物理中有时也称平均值用m m表示，表示， 它表示随机变数它表示随机变数n n取值的平均位置；取值的平均位置；方差方差D Dn n：又常用：又常用2 2 表示，它表示随机变数表示，它表示随机变数n n取值相对于期望值取值相对于期望值 E En n的离散程度。的离散程度。 方差的的开方根值称均方根差，用方差的的开方根值称均方根差，用表示，对于二项式分布，对应的期表示，对于二项式分布，对应的期望值与方差分别为：望值与方差分别为：10)1 (00teNpNmtttmeeeNppN)1 ()1 (0024.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布1. 1. 二项式分布二项式分布讨

10、论：假设讨论：假设tt1 1，上式简化为：，上式简化为：在在m m数值较大时：数值较大时： 即即可以用恣意一次观测到的衰变核数替代其平均值可以用恣意一次观测到的衰变核数替代其平均值来进展计算来进展计算11mm或2nnnm)(4.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布1. 1. 二项式分布二项式分布 假设假设N0N0很大，且很大，且tt1 1 ，留意到留意到m=N0pm=N0p，就得到：，就得到：2. 2. 泊松分布泊松分布12pNnNpnNneepNnNNNNnNN000)()1 () 1()2)(1()!(!0000000menmepnNnpmnpNnn!)(004.1

11、. 4.1. 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布高斯分布又称正态分布，当高斯分布又称正态分布，当m m1 1时，二项式分布可以简化为时，二项式分布可以简化为高斯分布：高斯分布： 其期望值与方差为：其期望值与方差为： 高斯分布是对称的，当高斯分布是对称的，当m20m20时，泊松分布就可以用高斯时，泊松分布就可以用高斯分布来替代。分布来替代。3. 3. 高斯分布高斯分布132222)(2)(2121)(mnmmneemnpmnDmnE2)()(4.1. 4.1. 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布在二项式分布和泊松分布中，在二项式分布和泊松分布中，n n是离散性随机变数

12、，只限于取是离散性随机变数，只限于取整数值，对高斯分布来说，整数值，对高斯分布来说，n n可以取整数，也可以是延续型随可以取整数，也可以是延续型随机变数。机变数。原子核衰变数在某一数值区间【原子核衰变数在某一数值区间【n1n1，n2n2】内的概率：】内的概率：14dnenpmnnn222)(2/12/121)(dnennnpdnennnpmnnnmnnn222122212)(212)(2/12/12121)(21)(3. 3. 高斯分布高斯分布4.1. 4.1. 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布其中其中z z的表达式为此变量置换又称为规范化的表达式为此变量置换又称为规范化实践运

13、用时，通常利用现成的高斯分布积分数值表，表格中给出了实践运用时，通常利用现成的高斯分布积分数值表，表格中给出了对应于对应于z z的函数值：的函数值：于是得：于是得：留意到函数的奇对称性：留意到函数的奇对称性：15dzezzz02221)(dndzmnz,)()(21)()(2122121212zzdzezzzpnnnpzzz)()(zzz(z)z(z)z(z)z(z)0.000.00000.800.28811.600.44522.400.49180.050.01990.850.30321.650.45052.450.49290.100.03980.900.31591.700.45542.500

14、.49380.150.05960.950.32891.750.4592.550.49460.200.07931.000.34131.800.46402.600.49530.250.09871.050.35311.850.46782.650.49600.300.11791.100.36431.900.47132.700.49650.350.13681.150.37491.950.47442.750.49700.400.15541.200.38492.000.47732.800.49740.450.17361.250.39442.050.47982.850.49780.500.19151.300.

15、40322.100.48212.900.49810.550.20881.350.41152.150.48422.950.49840.600.22581.400.41922.200.48613.000.49870.650.24221.450.42652.250.48780.700.25801.500.43322.300.48930.750.27341.550.43942.350.490616核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.1 4.1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布17放射性核衰变所服从的三种最根本的分布规律： 二项式分布 ： 泊松分布 ： N0很大，且t1 高斯分布： m1

16、nNtnteennNNnp0)()1 (!)!(!)(00mnpNnnenmepnNnp!)(002222)(2)(2121)(mnmmneemnp1. 统计误差的产生和表示方法由于放射性核衰变和射线与物质相互作用的统计性引起的误差，称由于放射性核衰变和射线与物质相互作用的统计性引起的误差，称为统计误差。统计误差是由于被测物理量本身有涨落呵斥的，它与为统计误差。统计误差是由于被测物理量本身有涨落呵斥的，它与丈量过程无关。丈量过程无关。放射性丈量的计数值服从正态分布，最常用的是规范误差放射性丈量的计数值服从正态分布，最常用的是规范误差NN，其，其平方值即为正态分布的方差：平方值即为正态分布的方差

17、：用用k k次丈量的平均值甚至单次丈次丈量的平均值甚至单次丈量值量值N N替代替代M M：k k次丈量的平均值表达式为：次丈量的平均值表达式为：18kiiNNNkNNNMM1214.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差1. 统计误差的产生和表示方法其中对于一次丈量，可以将丈量结果可以表示为：其中对于一次丈量，可以将丈量结果可以表示为：19NNNN4.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差这种表示的含义：对任何一个计数这种表示的含义：对任何一个计数N N，写出，写出N NNN就表示了一个区间。就表示了一个区间。N N不同，这个区间的位置也不同，所以这个区间是随机的。

18、任何一个计数不同，这个区间的位置也不同，所以这个区间是随机的。任何一个计数值值N N落入这个区间内的概率是落入这个区间内的概率是68.3%68.3%。因此对任何一个。因此对任何一个N NNN区间来说，区间来说，这时平均值这时平均值M M能够在其中，也能够不在其中，这就要看能够在其中，也能够不在其中，这就要看N N与与M M的偏向能否超的偏向能否超越了越了NN。 N NNN就表示的区间包含真平均值的概率是就表示的区间包含真平均值的概率是68.3%68.3%。规范误差。规范误差也正是阐明具有这一概率意义的空间宽度。也正是阐明具有这一概率意义的空间宽度。所以所以N N越大，相对误差越小，表示丈量精度

19、越高越大，相对误差越小，表示丈量精度越高1. 统计误差的产生和表示方法规范误差规范误差nn随随N N增大而增大，但增大而增大，但N N越大，丈量越不准确么？越大，丈量越不准确么？20NNNNNN14.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差现实上现实上N N越大，丈量精度越高，用绝对误差表示不能直接看出丈量越大，丈量精度越高，用绝对误差表示不能直接看出丈量结果的准确度，用相对误差就可以明显看出。按定义，相对规范结果的准确度，用相对误差就可以明显看出。按定义，相对规范误差误差nn是：是：2. 统计误差的计算2.1. 2.1. 函数统计误差的计算函数统计误差的计算函数函数f(x1f(x

20、1，x2xn)x2xn)的统计误差可由下式给出的统计误差可由下式给出其中其中x1x1，x2xnx2xn必需是相互独立的随机变量必需是相互独立的随机变量212/122222221)()()(21nxnxxfxfxfxf4.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差2. 统计误差的计算假设对某种样品反复丈量了假设对某种样品反复丈量了k k次，每次丈量的时间次，每次丈量的时间t t一样，称为等精一样，称为等精度丈量，得到度丈量，得到k k个计数。那么在时间个计数。那么在时间t t内的平均计数值为：内的平均计数值为：根据误差传送公式，根据误差传送公式， 的方差为：的方差为：2.2 2.2 多

21、次丈量结果的误差平均值的误差多次丈量结果的误差平均值的误差22kiiNkN11NNkNkkkiikiNNi111121222kNN/4.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差2. 统计误差的计算丈量结果可表示为：丈量结果可表示为： 的相对误差为：的相对误差为：小结：比较单次丈量的误差与多次丈量的误差，丈量次数越多，小结：比较单次丈量的误差与多次丈量的误差，丈量次数越多，其误差越小；在放射性丈量中，不论是一次丈量，还是多次丈量，其误差越小；在放射性丈量中，不论是一次丈量，还是多次丈量，只需总计数一样，那么结果的相对误差是一样的。只需总计数一样，那么结果的相对误差是一样的。2.2 2

22、.2 多次丈量结果的误差平均值的误差多次丈量结果的误差平均值的误差23kNNNN/iiNNNkNkNNN11N4.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差计数率的相对误差与总计数有关系，且计数率的相对误差与计数率的相对误差与总计数有关系，且计数率的相对误差与总计数的相对误差相等总计数的相对误差相等242. 统计误差的计算2.3 2.3 计数率的误差计数率的误差计数率计数率n nN/tN/t，根据误差传播公式，计数率，根据误差传播公式，计数率n n的规范误差为：的规范误差为：上式阐明，丈量时间越长，计数率的误差越小。计数率的相上式阐明，丈量时间越长，计数率的误差越小。计数率的相对误差

23、为：对误差为：tntNtNN222NntntnnNn11/4.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差2. 统计误差的计算2.3 2.3 计数率的误差计数率的误差对于多次丈量，假设对于多次丈量，假设k k次丈量的时间一样，那么为等精度丈量：次丈量的时间一样，那么为等精度丈量：对统计误差来说，无论是一次丈量，还是多次丈量，只需总对统计误差来说，无论是一次丈量，还是多次丈量，只需总计数一样，多次丈量的平均计数率的相对误差和一次丈量的计数一样，多次丈量的平均计数率的相对误差和一次丈量的计数率的相对误差是一致的。相对误差只与丈量的总计数有计数率的相对误差是一致的。相对误差只与丈量的总计数有

24、关，而与丈量的次数与丈量的时间分配无关。关，而与丈量的次数与丈量的时间分配无关。25ktnnnn4.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差2. 统计误差的计算2.4 2.4 存在本底时误差的计算存在本底时误差的计算样品净计数率样品净计数率n0n0为：为： n0 n0的规范误差为：的规范误差为：丈量结果可写为：丈量结果可写为：26bbssbstNtNnnn0bbssbbssntntntNtN220bbssbsntntnnnn)(004.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差2. 统计误差的计算2.5 2.5 丈量时间与丈量安装任务形状的选择丈量时间与丈量安装任务形状的

25、选择计数率计数率n n，时间，时间t t和相对误差和相对误差nn三者之间的关系为：三者之间的关系为：给定了这三个量中的恣意两个，就可以利用上式求得第三个量。有本底存给定了这三个量中的恣意两个，就可以利用上式求得第三个量。有本底存在时：在时：T=tb+ts ,T=tb+ts ,将将tbtb用用T-tsT-ts代入本底误差公式中，并写出极值条件得：代入本底误差公式中，并写出极值条件得：为使丈量结果的误差最小，样品和本底的丈量时间之比应等于他们计数为使丈量结果的误差最小，样品和本底的丈量时间之比应等于他们计数率的平方根之比。率的平方根之比。2712ntnbsbssbssnntttTntndtd0)(4.2 4.2 放射性丈量的统计误差放射性丈量的统计误差2. 统计误差的计算2.5 2.5 丈量时间与丈量安装任务形状的选择丈量时间与丈量安装任务形状的选择将将 代入样品和本底的丈量时间比的公式中，可得到在最正确时代入样品和本底的丈量时间比的公式中，可得到在最正确时间分配下，给定了总的丈量时间间分配下，给定了总的丈量时间T T后，后，tsts和和tbtb的表达式：的表达式：在这种最正确条件下的相对方差为：在这种最正确条件下