关于数项级数敛散性的判定

1

、问题的提出

数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分

.

数项级数，从形式上看，就是无穷多个

项的代数和，

它是有限项代数和的延伸，

因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，

其判别方法多

样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成

为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的

. 

2

、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理

2.1

数项级数收敛的定义

数项级数







1

n

n

u

收敛



数项级数







1

n

n

u

的部分和数列





n

S

收敛于

S

. 

这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列





n

S

的极限是否存在的问题的讨论，但由于

求数列前

n

项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少

. 

2.2

数项级数的性质

（

1

）

若

级

数







1

n

n

u

与







1

n

n

v

都

收

敛

，

则

对

任

意

常

数

c,d, 

级

数









1

)

(

n

n

n

dv

cu

亦

收

敛

，

且

























1

1

1

)

(

n

n

n

n

n

n

n

v

d

u

c

dv

cu

;

相反的，若级数









1

)

(

n

n

n

dv

cu

收敛，则不能够推出级数







1

n

n

u

与







1

n

n

v

都收敛

. 

注：特殊的，对于级数







1

n

n

u

与







1

n

n

v

，当两个级数都收敛时，









1

)

(

n

n

n

v

u

必收敛；当其中一个

收敛，另一个发散时，









1

)

(

n

n

n

v

u

一定发散；当两个都发散时，









1

)

(

n

n

n

v

u

可能收敛也可能发散

. 

例

1