1.求一段曲线与x 轴和任一直线、曲线围成的图形和极坐标下曲线围成的图形面积(求一块平面区域的面积)

(1) x-型区域、 y-型区域介绍

极坐标：

设在平面直角坐标系上有一段曲线 y=f(x)>0, a ≤ x ≤ b a \leq x \leq b a≤x≤b .我们在区间[a,b] 上取一个微元区间[x,x+dx] ,则此微段所对应的曲线与 x轴围成的微段矩形绕 轴旋转所形成的微元体是一个以dx 为高, f(x) 为底面半径的圆柱,如图9所示,则微元体积为 d v = π f 2 ( x ) d x dv = πf^2(x)dx dv=πf2(x)dx

将所有微元长度积分起来,即 V = ∫ a b d V = ∫ a b π f 2 ( x ) d x V=\int_{a}^{b}dV = \int_{a}^{b} πf^2(x)dx V=∫ab​dV=∫ab​πf2(x)dx

绕y轴体积 我们依然在区间 [a,b] 上取一个微元区间[x,x+dx] ,但是取不同的微元体积.我们想象曲线已经绕y 轴旋转形成了一个回转体,当我们在此回转体的一个横截面(不妨取 xOy 平面)上横坐标为 x的点取了dx 的微元变量,自然会在此平面上形成长度为 f(x) ,宽为 dx 的微元矩形(如图10所示),然后让此矩形也绕 y轴旋转形成一个有孔圆柱,所以我们就取微元体积为此有孔圆柱,则微元体积 d V = π [ ( x + d x ) 2 − x 2 ] f ( x ) = π [ ( 2 x + d x ) d x ] f ( x ) dV = π[(x+dx)^2-x^2]f(x)=π[(2x+dx)dx]f(x) dV=π[(x+dx)2−x2]f(x)=π[(2x+dx)dx]f(x) ，舍去含高阶无穷小 （ d x ) 2 （dx)^2 （dx)2的项， d V = 2 π x f ( x ) d x dV=2πxf(x)dx dV=2πxf(x)dx, 将所有微元长度积分起来，即 V = ∫ a b d V = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x V=\int_{a}^{b}dV = 2π\int_{a}^{b} xf(x)dx V=∫ab​dV=2π∫ab​xf(x)dx

绕X 轴表面积

绕任意一条直线旋转所得体积

设在平面直角坐标系上有一段曲线 y=f(x), a ≤ x ≤ b a \leq x \leq b a≤x≤b,以及一条直线 Ax+By+C=0 ,且曲线完全在直线的一侧,求曲线绕直线旋转一圈所得体积.