李雅普诺夫（第二方法）稳定性分析+例题 |
您所在的位置：网站首页 › 线性表示唯一性定理的例题 › 李雅普诺夫（第二方法）稳定性分析+例题 |
李雅普诺夫（第二方法）稳定性分析+例题
|
目录
1. 背景和思路2. 李雅普诺夫第二方法3. 李雅普诺夫稳定性分析4. 例题5. 参考文献
1. 背景和思路
系统稳定：系统储存的总能量持续地减小，直至耗尽，系统状态就会趋于平衡态 稳定性考察：考察一个正值的能量函数
V
(
x
)
V(x)
V(x)和它的变化率
V
˙
(
x
)
\dot{V} (x)
V˙(x)来判断。若
V
˙
(
x
)
\dot{V} (x)
V˙(x)始终为负，则系统稳定。 困难：对于一般的动态系统，并不是总能明确地定义一个能量函数 解决方案：用一个正定的标量函数作为系统的广义能量函数 这个标量函数是什么：运用李雅普诺夫第二方法判断系统稳定性时，常常采用二次型的标量函数。所谓二次型函数，是指形如
V
(
x
)
=
x
T
P
x
V(x)=x^TPx
V(x)=xTPx 的函数，这里P是实对称矩阵。设 取非线性定常系统状态方程为：
x
˙
(
t
)
=
F
(
x
(
t
)
)
\dot{x}(t)=F(x(t))
x˙(t)=F(x(t)) 系统平衡状态为：
x
e
=
0
x_e=0
xe=0 定理1： （寻找李雅普诺夫函数，使得系统渐近稳定） （1）对于具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，如果V(x)正定，V(x)的导数负定，则系统平衡状态是渐近稳定的，这样的V(x)就是系统的一个李雅普诺夫函数。 （2）如果在（1）成立的情况下，V(x)还满足径向无界条件： 对于只有唯一平衡状态的线性定常系统，平衡状态的大范围稳定性与系统的稳定性是一回事，因此就不加区分了。下面将分别介绍用李雅普诺夫第二方法（下称李二法）来分析线性定常连续时间系统和线性定常离散时间系统的稳定性。 （1）线性定常连续时间系统 状态方程：
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
\dot{x}(t)=Ax(t)
x˙(t)=Ax(t) 系统唯一平衡态：
x
e
=
0
x_e=0
xe=0 李函数变化率： 1. 判断非线性定常系统稳定性： [1] 田玉平，蒋珉，李世华．自动控制原理[M]．北京：科学出版社，2006 |
则V的正定性可以用西尔维斯特(Sylvester) 准则来判断： （1）二次型正定：即P矩阵正定：顺序主子式都大于0 （2）二次型（或P）负定：充要：P的主子式满足： 
注： 要求正定，则说明V是正值能量函数，要求二次型，则符合能量特征。
那么平衡状态在整个状态空间中是大范围渐近稳定的。（意义见后面例题） 问题：在定理1中，如果V的导数是半负定的，一般只能确定系统平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，但不能确定其渐近稳定性。 解决方案：加一个限制条件，见定理2。 定理2： （没找到满足定理1的李雅普诺夫函数，但是找到了自身正定、导数半负定的V，也想实现渐近稳定性） 如果V在系统状态方程的任一非零解的状态运动轨迹上不恒为0，那么系统的平衡状态也是渐近稳定的（#跟减函数相似）。如果V径向无界，那么系统是大范围渐近稳定的。 
定理3： （判断系统的不稳定性） 如果找到了有连续一阶偏导数的标量函数V，满足V正定，V的导数也正定，那么系统平衡状态是不稳定的。
记 
为了使系统渐近稳定，Q应该正定。 问题：有时候P选得不好，Q既不是正定的也不是负定的，就不能用李二法判断系统稳定性了。 解决方案：实际用李二法的时候，一般先确定一个正定的Q，然后求解下面的李方程：
A
T
P
+
P
A
=
−
Q
A^TP+PA=-Q
ATP+PA=−Q 再找到正定的P。只要系统是渐近稳定的，那么这个李方程就一定存在正定解。也就是说，已知系统渐近稳定，那么一定存在李函数。这和前面用李函数判断渐近稳定性刚好反过来。这也就有了定理4。 定理4： 线性定常连续时间系统渐近稳定的充要条件：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P为李方程的解。 因为Q是任意的，所以一般来说，Q取单位阵，最简单了。 （2）线性定常离散时间系统 系统状态方程：
x
(
k
+
1
)
=
A
x
(
k
)
x(k+1)=Ax(k)
x(k+1)=Ax(k) 系统唯一平衡态：
x
e
=
0
x_e=0
xe=0 李函数：
V
(
x
)
−
=
−
x
T
P
x
V(x)-=-x^TPx
V(x)−=−xTPx 因为是离散时间系统，所以用V(x(k+1))-V(x(k))作为变化率： 
同样设：
Q
=
−
(
A
T
P
A
−
P
)
Q=-(A^TPA-P)
Q=−(ATPA−P) 为了让系统渐近稳定，Q应该是正定的。和连续时间系统一样，一般也是先确定Q，然后求解李方程：
A
T
P
A
−
P
=
−
Q
A^TPA-P=-Q
ATPA−P=−Q 找到正定的P。同样，有定理5： 定理5： 线性定常离散时间系统渐近稳定的充要条件：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P，成为李方程的解。 同样，一般取Q为单位阵。
首先这是二维系统。P是自己选的，要找一个2*2的矩阵。 先确定稳态：两个x的导数都为0，解出来是x1=x2=0，所以稳态是[0,0]’。 P取为I2，得到李雅普诺夫函数： 
只要选正定的P，那么V(x)就是正定的，要验证的只是它的导数的负定性： 
计算的时候代入x1和x2的导数的表达式就可以。这里a>0，V的导数是负定的。所以平衡状态是渐近稳定的。 另外，当||x||无穷的时候，V也无穷，所以系统在整个状态空间中是大范围渐近稳定的。 大范围渐近稳定的意义： 
2. 判断非线性定常系统稳定性： 
平衡状态：[0,0]’。 选择P=I2，李雅普诺夫函数： 
导数： 
只有在x2=0和x2=-1两条直线上，导数为0，所以V的导数是半负定的。 
3. 判断线性定常系统稳定性： 
平衡状态：[0,0]’ 李雅普诺夫函数： 
变化率： 
所以平衡状态是不稳定的。 4. 判断线性定常系统稳定性： 
唯一平衡状态：原点。 取Q为单位阵，则李方程为： 
整理成方程组： 
因为P是对称的，所以 
从而： 
利用西尔韦斯特准则，可以得到： 
所以P是正定的。所以系统是渐近稳定的。 但这里的Q是指定的，按理说要对任意给定的Q都存在P作为方程的解才行啊，不应该用一般的形式来证明吗？不需要，因为既然找到了合适的P，使得V正定，V的变化率负定，那么系统已经是渐近稳定的了。 5. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件： 
取Q为单位阵，解李方程： 
写成方程组： 
考虑P的对称性，解得： 
要让P正定，必须满足： 
解不等式得到： 
这就是线性定常离散时间系统渐近稳定的充要条件了。这和用离散时间系统稳定性代数判据得到的结论是一样的。【本文地址】