向量组α1，α2，…，αm是线性相关的 向量组α1，α2，…，αm中至少有一个向量可由其他向量线性表出。

首先证明左边可推出右边： 若向量组α1，α2，…，αm是线性相关的，则存在m个不全为0的实数k1，k2，…，km，使得 k1α1+k2α2+k3α3+···+kmαm=0成立； 假设是km≠0，则等式两边同时÷km，可得到： （k1/km）α1 + （k2/km）α2 + （k3/km) α3 + ··· + αm = 0; 移项，得： αm = - (k1/km) α1 - （k2/km) α2 - ··· - (km-1/km) αm-1； 结论：即αm可由剩下的m-1个向量线性表出 结论：即若有向量组是线性相关的，则一定至少有一个向量可以由剩下的向量线性表出 再证明右边可推出左边： 假设 αm 可以由α1，α2，···，αm-1 线性表出，即有： am = k1α1 + k2α2 + ··· + km-1αm-1 ； 上式移项，得： k1α1 + k2α2 + ··· + km-1αm-1 - αm = 0； ∵ 存在 k 个不全为 0 的实数，k1，k2，···，km-1，-1，使得 k1α1 + k2α2 + ··· + km-1αm-1 + kmαm = 0 成立 （km=-1） ∴ 向量组α1，α2，···，αm-1，αm 是线性相关的 结论：若向量组α1，α2，···，αm中至少有一个向量可由其它向量线性表出，则该向量组是线性相关的

由线性相关的等价命题及相关证明，可以得出线性无关的等价命题： 向量组α1，α2，···，αm线性无关 任何一个向量αx都无法由剩下的向量线性表出

若向量组α1，α2，···，αm线性无关，而α1，α2，···，αm，β是线性相关的，则β可由α1，α2，···，αm线性表出，且是惟一表出。

证明： 已知 α1，α2，···，αm，β是线性相关的，则存在m+1个不全为0的实数k1，k2，···，km，km+1， 使得 k1α1 + k2α2 + ··· + kmαm + km+1β = 0 成立； 且 km+1 ≠ 0 ; 若 km+1 = 0，则上述条件可表述为 ： 存在m个不全为0的实数k1，k2，···，km 使得 k1α1 + k2α2 + ··· + kmαm = 0 成立；则说明，若km+1 = 0，则可推出 α1，α2，···，αm 是线性相关的。与题设矛盾。 故km+1 ≠ 0 ;