线性回归模型属于经典的统计学模型，该模型的应用场景是根据已 知的变量（自变量）来预测某个连续的数值变量（因变量）。例如，餐 厅根据每天的营业数据（包括菜谱价格、就餐人数、预定人数、特价菜 折扣等）预测就餐规模或营业额；网站根据访问的历史数据（包括新用 户的注册量、老用户的活跃度、网页内容的更新频率等）预测用户的支 付转化率；医院根据患者的病历数据（如体检指标、药物服用情况、平 时的饮食习惯等）预测某种疾病发生的概率。 站在数据挖掘的角度看待线性回归模型，它属于一种有监督的学习 算法，即在建模过程中必须同时具备自变量x和因变量y。

对样本变量（包括自变量和因变量）的相关性分析

一元线性回归模型也被称为简单线性回归模型，是指模型中只含有一个自变量和一个因变量，用来建模的数据集可以表示成{(x1,y1)，(x2,y2)，……，(xn,yn)}。其中，xi表示自变量x的第i个值，yi表示因变量y的第i个值，n表示数据集的样本量。当模型构建好之后，就可以根据其他自变量x的值，预测因变量y的值，该模型的数学公式可以表示成： y=a+bx+ε 其中， a为模型的截距项， b为模型的斜率项， ε为模型的误差项。 模型中的a和b统称为回归系数，误差项ε的存在主要是为了平衡等号两边的值，通常被称为模型无法解释的部分。 在上图中，圆点是样本，斜线是一元线性拟合函数。上图反映的就是自变量YearsExperience与因变量Salary之间的散点图，从散点图的趋势来看，工作年限与收入之间存在明显的正相关关系，即工作年限越长，收入水平越高。图中的直线就是关于散点的线性回归拟合线，从图中可知，每个散点基本上都是围绕在拟合线附近。 如果拟合线能够精确地捕捉到每一个点（即所有散点全部落在拟合线上），那么对应的误差项ε应该为0。 所以，模型拟合的越好，则误差项ε应该越小。进而可以理解为：求解参数的问题便是求解误差平方和最小的问题；

我们接下来要学会如何根据自变量x和因变量y，求解回归系数a和b。前面已经提到，误差项ε是为了平衡等号两边的值，如果拟合线能够精确地捕捉到每一个点（所有的散点全部落在拟合线上），那么对应的误差项ε应该为0。按照这个思路来看，要想得到理想的拟合线，就必须使误差项ε达到最小。由于误差项是y与a+bx的差，结果可能为正值或负值，因此误差项ε达到最小的问题需转换为误差平方和最小的问题（最小二乘法的思路）。误差平方和的公式可以表示为： 由于建模时的自变量值和因变量值都是已知的，因此求解误差平方和最小值的问题就是求解函数J(a,b)的最小值，而该函数的参数就是回归系数a和b。 该目标函数其实就是一个二元二次函数，如需使得目标函数J(a,b)达到最小，可以使用偏导数的方法求解出参数a和b，进而得到目标函数的最小值。关于目标函数的求导过程如下： 如上推导结果所示，参数a和b的值都是关于自变量x和因变量y的公式。接下来，根据该公式，利用Pyhton计算出回归模型的参数值a和b。 作图

结果 计算回归系数：

结果：

如上所示，利用Python的计算功能，最终得到模型的回归参数值。你可能会觉得麻烦，为了计算回归模型的参数还得人工写代码，是否有现成的第三方模块可以直接调用呢？答案是肯定的，这个模块就是statsmodels，它是专门用于统计建模的第三方模块，如需实现线性回归模型的参数求解，可以调用子模块中的ols函数。有关该函数的语法及参数含义可见下方：

这是一个语法非常简单的函数，而且参数也通俗易懂，但该函数的功能却很强大，不仅可以计算模型的参数，还可以对模型的参数和模型本身做显著性检验、计算模型的决定系数等。接下来，利用该函数计算模型的参数值，进而验证手工方式计算的参数是否正确：

结果：

如上结果所示，Intercept表示截距项对应的参数值， YearsExperience表示自变量工作年限对应的参数值。对比发现，函数计 算出来的参数值与手工计算的结果完全一致，所以，关于收入的简单线 性回归模型可以表示成： Salary = 25792.20 + 9449.96YearsExperience

一元线性回归模型反映的是单个自变量对因变量的影响，然而实际情况中，影响因变量的自变量往往不止一个，从而需要将一元线性回归模型扩展到多元线性回归模型。 如果构建多元线性回归模型的数据集包含n个观测、p+1个变量（其中p个自变量和1个因变量），则这些数据可以写成下方的矩阵形式： 其中，xij代表第个i行的第j个变量值。如果按照一元线性回归模型的逻辑，那么多元线性回归模型应该就是因变量y与自变量X的线性组合，即可以将多元线性回归模型表示成： y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxn+ε 根据线性代数的知识，可以将上式表示成y=Xβ+ε。 其中， β为p×1的一维向量，代表了多元线性回归模型的偏回归系数； ε为n×1的一维向量，代表了模型拟合后每一个样本的误差项。

在多元线性回归模型所涉及的数据中，因变量y是一维向量，而自变量X为二维矩阵，所以对于参数的求解不像一元线性回归模型那样简单，但求解的思路是完全一致的。为了使读者掌握多元线性回归模型参数的求解过程，这里把详细的推导步骤罗列到下方： 根据线性代数的知识，可以将向量的平方和公式转换为向量的内积，接下来需要对该式进行平方项的展现。 经过如上四步的推导，最终可以得到偏回归系数β与自变量X、因变量y的数学关系。这个求解过程也被成为“最小二乘法”。基于已知的偏回归系数β就可以构造多元线性回归模型。前文也提到，构建模型的最终目的是为了预测，即根据其他已知的自变量X的值预测未知的因变量y的值。

如果已经得知某个多元线性回归模型y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxn，当有其他新的自变量值时，就可以将这些值带入如上的公式中，最终得到未知的y值。在Python中，实现线性回归模型的预测可以使用predict“方法”，关于该“方法”的参数含义如下：

接下来将基于statsmodels模块对多元线性回归模型的参数进行求解，进而依据其他新的自变量值实现模型的预测功能。这里不妨以某产品的利润数据集为例，该数据集包含5个变量，分别是产品的研发成本、管理成本、市场营销成本、销售市场和销售利润，数据集的部分截图如下表所示。 上图表中数据集中的Profit变量为因变量，其他变量将作为模型的自变量。需要注意的是，数据集中的State变量为字符型的离散变量，是无法直接带入模型进行计算的，所以建模时需要对该变量进行特殊处理。 （sklearn是python的重要机器学习库，其中封装了大量的机器学习算法，如：分类、回归、降维以及聚类；还包含了监督学习、非监督学习、数据变换三大模块。sklearn拥有完善的文档，使得它具有了上手容易的优势；并它内置了大量的数据集，节省了获取和整理数据集的时间。因而，使其成为了广泛应用的重要的机器学习库。ML神器：sklearn的快速使用） 有关产品利润的建模和预测过程如下代码所示：

结果：

Profit = 58581.52 + 0.80RD_Spend - 0.06Administation + 0.01Marketing_Spend + 927.39Florda - 513.47New York 如上结果所示，得到多元线性回归模型的回归系数及测试集上的预测值，为了比较，将预测值和测试集中的真实Profit值罗列在一起。针对如上代码需要说明三点：

对于输出的回归系数结果，读者可能会感到疑惑，为什么字符型变量State对应两个回归系数，而且标注了Florida和New York。那是因为字符型变量State含有三种不同的值，分别是California、Florida和NewYork，在建模时将该变量当作哑变量处理，所以三种不同的值就会衍生出两个变量，分别是State[Florida]和State[New York]，而另一个变量State[California]就成了对照组。 正如建模中的代码所示，将State变量套在C()中，就表示State变量需要进行哑变量处理。但是这样做会存在一个缺陷，那就是无法指定变量中的某个值作为对照组，正如模型结果中默认将State变量的California值作为对照组（因为该值在三个值中的字母顺序是第一个）。如需解决这个缺陷，就要通过pandas模块中的get_dummies函数生成哑变量，然后将所需的对照组对应的哑变量删除即可。为了使读者明白该解决方案，这里不妨重新建模，并以State变量中的New York值作为对照组，代码如下：

结果：

如上结果所示，从离散变量State中衍生出来的哑变量在回归系数的结果里只保留了Florida和California，而New York变量则作为了参照组。以该模型结果为例，得到的模型公式可以表达为： Profit = 58068.05 + 0.80RD_Spend-0.06Administation + 0.01Marketing_Spend + 1440.86Florida + 513.47California 虽然模型的回归系数求解出来了，但从统计学的角度该如何解释模型中的每个回归系数呢？ 下面分别以研发成本RD_Spend变量和哑变量Florida为例，解释这两个变量对模型的作用：在其他变量不变的情况下，研发成本每增加1美元，利润会增加0.80美元；在其他变量不变的情况下，以New York为基准线，如果在Florida销售产品，利润会增加1440.86美元。 关于产品利润的多元线性回归模型已经构建完成，但是该模型的好与坏并没有相应的结论，还需要进行模型的显著性检验和回归系数的显著性检验。

在实际应用中，如果因变量为数值型变量，可以考虑使用线性回归模型。但是前提得满足几点假设，如Python数据分析与挖掘——回归模型的诊断：因变量服从正态分布、自变量间不存在多重共线性、自变量与因变量之间存在线性关系、用于建模的数据集不存在异常点、残差项满足方差异性和独立性。