初等变换不改变矩阵的秩。

阶梯形矩阵非零行的个数即为该矩阵的秩。

r ( A ) = r ( A T ) = r ( A T A ) = r ( A A T ) r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})=r(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}) r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)（因为齐次线性方程组 A x = 0 \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Ax=0与 A T A x = 0 \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} ATAx=0同解）。

r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\le r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) r(A+B)≤r(A)+r(B)（因为 A + B \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} A+B的列向量组可以由 A \boldsymbol{A} A的列向量组加上 B \boldsymbol{B} B的列向量组线性表示）。

r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\le\min\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}（ A B \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} AB的每个列向量组可由 A \boldsymbol{A} A的列向量线性表示；再转置一下以考虑 B \boldsymbol{B} B）。

矩阵 A \boldsymbol{A} A的秩 r ( A ) r(\boldsymbol{A}) r(A)是 A \boldsymbol{A} A中非零子式的最高阶数。

r ( A ) = 0    ⟺    A = O r(\boldsymbol{A})=0\iff \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O} r(A)=0⟺A=O。

r ( A ) = r    ⟺    A r(\boldsymbol{A})=r\iff \boldsymbol{A} r(A)=r⟺A中存在 r r r阶非 0 0 0子式，且所有 r + 1 r+1 r+1阶子式为 0 0 0。

∣ A ∣ ≠ 0    ⟺    r ( A ) = n    ⟺    A |\boldsymbol{A}|\ne 0\iff r(\boldsymbol{A})=n\iff \boldsymbol{A} ∣A∣=0⟺r(A)=n⟺A为满秩方阵；否则为降秩方阵。

A m × n \boldsymbol{A}_{m\times n} Am×n​的秩为 m    ⟺    A m\iff\boldsymbol{A} m⟺A为行满秩矩阵（秩=行数）。

A m × n \boldsymbol{A}_{m\times n} Am×n​的秩为 n    ⟺    A n\iff\boldsymbol{A} n⟺A为列满秩矩阵（秩=列数）。

满秩分解： A = G H \boldsymbol{A}=\boldsymbol{G}\boldsymbol{H} A=GH， G \boldsymbol{G} G列满秩， H \boldsymbol{H} H行满秩，其中 G = P [ I r O ] \boldsymbol{G}=\boldsymbol{P}\begin{bmatrix}\boldsymbol{I}_r\\\boldsymbol{O}\end{bmatrix} G=P[Ir​O​]， H = [ I r O ] Q \boldsymbol{H}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{I}_r&\boldsymbol{O}\end{bmatrix}\boldsymbol{Q} H=[Ir​​O​]Q。

r ( [ A O O B ] ) = r ( A ) + r ( B ) r\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix}\right)=r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) r([AO​OB​])=r(A)+r(B)。

证明提要： A \boldsymbol{A} A和 B \boldsymbol{B} B分别化为秩标准型，然后用初等变换把 I r ( B ) \boldsymbol{I}_{r(\boldsymbol{B})} Ir(B)​挪到 I r ( A ) \boldsymbol{I}_{r(\boldsymbol{A})} Ir(A)​的右下角，形成 I r ( A ) + r ( B ) \boldsymbol{I}_{r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})} Ir(A)+r(B)​。

r ( [ A C O B ] ) ≥ r ( A ) + r ( B ) r\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix}\right)\ge r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) r([AO​CB​])≥r(A)+r(B)。

证明： A \boldsymbol{A} A有 r ( A ) r(\boldsymbol{A}) r(A)阶非零子式， B \boldsymbol{B} B有 r ( B ) r(\boldsymbol{B}) r(B)阶非零子式，故 [ A C O B ] \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix} [AO​CB​]有 r ( A ) + r ( B ) r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) r(A)+r(B)阶非零子式，因此其秩不小于 r ( A ) + r ( B ) r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) r(A)+r(B)。

向量组的秩定义为其极大无关组中所含向量的个数。

矩阵行向量组的秩称为行秩，列向量组的秩称为列秩。矩阵三秩相等：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩。

若向量组 U U U可由向量组 V V V线性表示，则 r ( U ) ≤ r ( V ) r(U)\le r(V) r(U)≤r(V)。

两个向量组等价，即一个向量组的所有向量都可以由另一个向量线性表示。若向量组 U U U和 V V V等价，则 r ( U ) = r ( V ) r(U)=r(V) r(U)=r(V)。

方程组有解当且仅当增广矩阵与系数矩阵的秩相等。

基础解系的秩为 n − r ( A ) n-r(\boldsymbol{A}) n−r(A)。

矩阵 A \boldsymbol{A} A的零特征值的代数重数至少为 n − r ( A ) n-r(\boldsymbol{A}) n−r(A)。这是因为代数重数大于等于几何重数，而齐次线性方程组 A x = 0 \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Ax=0基础解系的秩就是 A \boldsymbol{A} A的零特征值的几何重数，其中基础解系的秩为 n − r ( A ) n-r(\boldsymbol{A}) n−r(A)。

相似对角化不改变矩阵的秩；对于可相似对角化的矩阵，其秩等于非零特征值个数。

线性空间的维数为其基所含向量的个数。

若线性空间 W = span ⁡ { α 1 , α 2 , ⋯   , α m } W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\} W=span{α1​,α2​,⋯,αm​}，则 W W W的维数为向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m α1​,α2​,⋯,αm​的秩。

二次型的秩定义为其矩阵的秩。

若 A \boldsymbol{A} A与 B \boldsymbol{B} B合同（ A ≃ B \boldsymbol{A}\simeq \boldsymbol{B} A≃B），则 r ( A ) = r ( B ) r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B}) r(A)=r(B)（因为合同变换乘的矩阵是可逆矩阵）。

余子式： n n n阶行列式中删除 a i j a_{ij} aij​所在的行和列剩下的 n − 1 n-1 n−1阶行列式称为 a i j a_{ij} aij​的余子式，记作 M i j M_{ij} Mij​。

代数余子式： a i j a_{ij} aij​的代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}={(-1)}^{i+j} M_{ij} Aij​=(−1)i+jMij​。

性质：

(1) ∣ A ∣ = ∣ A T ∣ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}| ∣A∣=∣AT∣。 (2) 互换行列式两列位置，行列式的值反号。 (3) 行列式 D D D等于它任一行/列各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 D = ∑ j = 1 n a i j A i j = ∑ i = 1 n a i j A i j D=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}A_{ij} D=j=1∑n​aij​Aij​=i=1∑n​aij​Aij​。 (4) 行列式某一行元素全为 0 0 0，则该行列式为 0 0 0。 (5) 用一个数乘行列式，就等于用数乘行列式某行/列的每个元素。 (6) 若行列式某行的每个元素都是两个数的和，则可将此行列式写成两个行列式的和。 (7) 若行列式中有两行对应的元素成比例，则该行列式为 0 0 0。 (8) 把行列式某行的 k k k倍加到另一行上去，行列式的值不变。 (9) 行列式任一行各元素分别与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和为零。即 ∑ j = 1 n a i j A k j = { D , k = i 0 , k ≠ i \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}A_{kj}=\begin{cases}D,&k=i\\0,&k\ne i\end{cases} j=1∑n​aij​Akj​={D,0,​k=ik=i​这个性质队列也成立。

三角形行列式等于其对角线元素之积。

∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |k\boldsymbol{A}|=k^n|\boldsymbol{A}| ∣kA∣=kn∣A∣。

∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| ∣AB∣=∣A∣∣B∣。

∣ A O O B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \begin{vmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}\end{vmatrix}=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| ​AO​OB​ ​=∣A∣∣B∣

伴随矩阵 A ∗ \boldsymbol{A}^* A∗：在 A \boldsymbol{A} A中，把 a i j a_{ij} aij​换成 A i j A_{ij} Aij​然后再转置。

A ∗ A = A A ∗ = ∣ A ∣ I \boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^*=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{I} A∗A=AA∗=∣A∣I； ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |\boldsymbol{A}^*|={|\boldsymbol{A}|}^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1； A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}^*}{|\boldsymbol{A}|} A−1=∣A∣A∗​。

∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}^{-1}|=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} ∣A−1∣=∣A∣1​。

三种初等变换/初等矩阵：

n n n个 n n n维向量 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1​,α2​,⋯,αn​线性无关，当且仅当 ∣ α 1 α 2 ⋯ α m ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1&\boldsymbol{\alpha}_2&\cdots&\boldsymbol{\alpha}_m\end{vmatrix}\ne 0 ​α1​​α2​​⋯​αm​​ ​=0。

对 n n n个方程、 n n n个位置数组成的线性方程组 A x = b \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} Ax=b，若 ∣ A ∣ ≠ 0 |\boldsymbol{A}|\ne 0 ∣A∣=0，则方程有唯一解。

若 b = 0 \boldsymbol{b}=0 b=0，则称 A x = 0 \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=0 Ax=0为齐次线性方程组，它有非零解当且仅当 ∣ A ∣ = 0 |\boldsymbol{A}|=0 ∣A∣=0。

特征值的定义是满足 ∣ A − λ I ∣ = 0 |\boldsymbol{A}-\lambda\boldsymbol{I}|=0 ∣A−λI∣=0的 λ \lambda λ。

∣ A ∣ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n |\boldsymbol{A}|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n ∣A∣=λ1​λ2​⋯λn​； tr ⁡ ( A ) = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n \operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n tr(A)=λ1​+λ2​+⋯+λn​。

注意，矩阵的多项式的特征值就是特征值的多项式，所以矩阵多项式的行列式可以用特征值算出来。

若 A ∼ B \boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B} A∼B，则 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}| ∣A∣=∣B∣。

若 A \boldsymbol{A} A正定，则 ∣ A ∣ > 0 |\boldsymbol{A}|>0 ∣A∣>0， ∣ I + A ∣ > 1 |\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}|>1 ∣I+A∣>1。

箭形行列式 ∣ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n a 21 a 22 a 31 a 33 ⋱ a n 1 a n n ∣ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\\a_{31}&&a_{33}\\&&&\ddots\\a_{n1}&&&&a_{nn}\end{vmatrix} ​a11​a21​a31​an1​​a12​a22​​a13​a33​​⋯⋱​a1n​ann​​ ​：从第二行开始，用对角元把每一行的第一个元素消掉即可（即 c 1 − c i c_1-\frac{}{}c_i c1​−​ci​， i = 2 , 3 , ⋯   , n i=2,3,\cdots,n i=2,3,⋯,n）。

范德蒙德行列式 ∣ 1 1 ⋯ 1 a 1 a 2 ⋯ a n a 1 2 a 2 2 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 1 a 2 n − 1 ⋯ a n n − 1 ∣ \begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\cdots&a_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{vmatrix} ​1a1​a12​⋮a1n−1​​1a2​a22​⋮a2n−1​​⋯⋯⋯⋯​1an​an2​⋮ann−1​​ ​：其值为 ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( a j − a i ) \prod\limits_{1\le i