线性代数的学习和整理18：什么是维度，什么是秩？秩的各种定理&&秩的计算 (计算部分未完成)

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线性代数的学习和整理18：什么是维度，什么是秩？秩的各种定理&&秩的计算 (计算部分未完成)

2024-07-15 15:02| 来源: 网络整理| 查看: 265

0 问题引出：什么是秩？

概念备注：

1 先厘清：什么是维数？

1.1 真实世界的维度数

1.2 向量空间的维数

1.2.1 向量空间，就是一组最大线性无关的向量组/基张成的空间

1.3 向量α的维数

1.3.1 向量的维数=分量(数字/标量)个数

1.4 向量组/矩阵 A 的维数

1.4.1 什么是向量组的维度:

1.4.2 那如果把向量组拆成列向量组/行向量组呢？

（1）列空间与列秩

（2）行空间与行秩

（3）向量组的行秩=列秩

2 不同的点，线，面向量组的2种展示形式：方程组，矩阵函数

2.1 向量空间的点，线，面等用方程的形式展示

2.2 可表示为的点，线，面的向量组等如何用向量组表示呢？

2.2.0 为什么这里考虑向量组可表示为的点，线，面？

2.2.1 向量空间的点：一般维数是1，但是特例原点维数是0

2.2.2 向量空间的直线：维数是1

（1）第一种：向量空间里非原点的向量都可以认为是射线线段（直线）

（2）第2种，传统的直线方法==也可以认为是两个向量加减所得的1个新向量

2.2.3 向量空间的平面：维数是2

2.2.4 向量空间的立体空间：维数是3

2.2.5 综上所述，向量空间的维度 ≠ 其中向量组的向量的个数！(而是值域的维度

5.13 定理13 在自然定义域下，

A是行满秩矩阵等价 AX=y是满射

5.14 定理14 在自然定义域下，

A是满秩矩阵等价 AX=y是双射

5.15 定理15 在自然定义域下

A是满秩矩阵对应矩阵函数为双射，且A存在反函数，称为A可逆

5.16 定理16，假设P,Q为满秩矩阵，

5.17 定理17，如果可以通过一系列初等变化矩阵Ei，将A变成I，那么A的逆矩阵就是这些Ei的乘积

5.18 如A可逆，那么A-也可以逆，(A-)-=A

5.24 定理24

6 求秩的方法

6.1 求秩的方法

6.2 行列式方法

6.3 线性变换方法

6.4 化简矩阵

7 秩的性质

0 问题引出：什么是秩？

其实看线代一直挺模糊的，对这个概念，感觉好像就是维度，但好像又不是. 更不清楚，为什么有了维度为啥要搞出一个秩的概念。一般大家初步的想法就是，向量，矩阵/向量组不都有维度吗？而且大家经常会问的问题？秩和维度什么关系？秩=维度吗？

概念备注：

本文里把向量=数组，向量组=矩阵，这2组概念混用。

1 先厘清：什么是维数？

问什么是秩需要先搞清楚：什么是维度数？维数:维度的数量

讨论维度，首先需要明确对象：谁的维度？因为不同对象的维度定义不同真实世界的维度向量的维度向量组的维度向量空间的维度...

1.1 真实世界的维度数（和数学概念不完全相同） 0维空间：点1维空间：一条线：直线/曲线。但强调是1条线！2维空间：一个面：平面/曲面。但强调是1个面！3维空间：立体图形，3维世界4维空间：加时间，加啥的各种说法都有。。。。。。。。

1.2 向量空间的维数 1.2.1 向量空间，就是一组最大线性无关的向量组/基张成的空间一组最大线性无关的向量组 = (这个向量空间的) 一组基一组最新线性无关的向量组/基张成的空间，是指这些这个向量空间内的所有向量，都可以由这组线性无关的向量组，线性变换而成。这也是向量空间的封闭性。

1.2.2 向量空间的维数向量空间的维数，就是这些张成的向量空间的维数。

1.3 向量α的维数

维数=维度数量

1.3.1 向量的维数=分量(数字/标量)个数向量的维数数就是向量的分量数，向量内部的元素之间只需要数个数，不再考虑这些元素数字之间的关系。向量的维数，就是向量的分量的个数，比如α1 =[a11,a12......a1m] 有m个分量，维度就是m列向量：α1 =[a11,a12......a1m]，其分量的个数为m，所以列向量的维度就是m行向量：α1T=[a11,a12......a1m]T，其分量的个数为m，所以行向量的维度就是m

1.4 向量组/矩阵 A 的维数 1.4.1 什么是向量组的维度: 向量有维度概念，向量可以拆分为多个分量（标量）向量组的组成成分是向量，可以认为向量组只包含向量个数，没有维度。向量组只有向量个数层面的：向量个数，秩等。

3个概念：

向量里的数字/标量个数=维度向量组的向量个数>=秩向量组的秩

1.4.2 那如果把向量组拆成列向量组/行向量组呢？

向量组本身是由多个向量组成的，同时又可以拆为多个行向量./列向量

如下构成的向量组

向量α1=[a11,a12......a1m]向量α2=[a21,a22......a2m]....因为向量组（矩阵）A=[α1, α2.......αn]

向量组是什么？向量组其实就是矩阵

如果用row column分别表示行和列向量组可以转化为列向量组，比如[c1,c2.....cn]-----组成列空间向量组可以转化为行向量组，比如[r1,r2.....rn]-------组成行空间

（1）列空间与列秩矩阵的列空间：向量组可以拆为多个列向量，进而组成列空间列空间有秩，列秩，记作 rank(colsp(A)) $\begin{bmatrix} a11 & a12& a13\\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32& a33\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x1 \\ x2 \\ x3\end{bmatrix}$ 可以转成列向量组 $\begin{bmatrix} c1 & c2 & c3 \end{bmatrix}$ 直接 A*X $\begin{bmatrix} c1 & c2 & c3 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} x1 \\ x2 \\ x3\end{bmatrix} =c1*x1+c2*x2+c3*x3$ 要记住，矩阵的经典的乘法展开方法为，左边的1行列向量组 *(左乘) 右边的1列行向量组

因此，在自然定义域下，矩阵函数Ax=y的值域就是A的列空间，因为A转成的列向量组 $\begin{bmatrix} c1 & c2 & c3 \end{bmatrix}$ 就可以看作一组基，而值域 $\begin{bmatrix} c1 & c2 & c3 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} x1 \\ x2 \\ x3\end{bmatrix}$ 就是这个计算结果，就是一定落在以这组基组成的向量空间内，所以矩阵函数Ax=y的值域的维度就是A的列空间的维度

在自然定义域下，矩阵的秩等于矩阵函数Ax=y的值域的维度Amn*Xn1=Ym1展开为列向量好算，Amn*Xn1={c1,c2.....,cn}*Xn*1 = {Cm1,Cm1....,Cm1}*Xn*1={Cm1*x1,Cm1*X2.....Cm1*xn}=Y。因此可见Y（值域）的维度就是由A*x 决定的，确切的说是由A决定的，因为是A*X，A左乘X，A是基。

向量组A=[c1, c2......cn] 的维度数，不再关注其中每个元素向量里包含的下级元素数量了！

而重点只关心向量组A=[c1, c2......cn]的列向量的个数就是n

但是列向量的个数n就是维数吗？NO

列向量组（组成的列空间）的维数

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