先简单的介绍一下素数定理：

素数定理（ prime number theorem）是素数分布理论的中心定理，是关于素数个数问题的一个命题。它告诉我们， 1,2,\cdots,n 中大约有 \displaystyle{\int_2^n {\frac{1}{{\ln t}}dt}} 个素数（ n \ge 2 ）。这个大约的意思是，随着 n 的增大，二者的比值会越来越趋于1。

为了用数学语言描述它，不妨定义 {\pi \left( n \right)} 为 1,2,\cdots,n 中所有素数的个数（至于为啥叫 {\pi \left( n \right)} ，而不是叫 f(n) 什么的，这是因为历史上一直这么用的缘故）。

则素数定理就可以简单的写成： \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\pi \left( n \right)}}{{\displaystyle{\int_2^n {\frac{1}{{\ln x}}dx} }}} = 1 ，如果嫌麻烦，也可以直接写成： \pi \left( n \right) \sim \displaystyle{\int_2^n {\dfrac{1}{{\ln x}}dx}}。

更一般的，设 x \ge 2 ，如果定义区间\left[ {2,x} \right] 以内全部素数的个数为 \pi \left( x \right) ，这样，我们就将离散的 {\pi \left( n \right)} 变为连续的 \pi \left( x \right)，这样定义的好处会在以下的证明中体会到。

综上，素数定理又可以写成：

\pi \left( x \right) \sim \displaystyle{\int_2^x {\dfrac{1}{{\ln t}}dt}} \\

以下为证明：

我们希望估算出 1,2,\cdots,n 中所有素数的个数（ n \ge 2 ），即 \pi \left( n \right) 。但到目前为止，我们唯一知道的有关 n 与素数 p 的定理是算数基本定理：

任何一个大于1的自然数 n ,如果 n 不为素数，那么 n 可以唯一分解成有限个素数的乘积： n = {p_1}^{{r_1}}{p_2}^{{r_2}} \cdots {p_s}^{{r_s}} ，这里 {p_1} < {p_2} < \cdots < {p_s} 均为素数，其中指数 {r_i} 是正整数， i=1,2, \cdots ,s 。

理想很美好，现实很骨感，我们并不知道 s 的数量。况且， s 也不一定等于 \pi \left( n \right) 。但是，这给了我们一个思路，就是，有没有一个数的 s 与 \pi \left( n \right) 能扯上关系？

事实上，还真的有，这个数就是“n!”。

声明一下，这个“ ！”不是惊叹号，而是数学上的一种记号，定义： n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n ，“n!”读作“ n 的阶乘”。

那么 n! 这个数神奇在什么地方呢？为了更好的体会这一点，我们再引入一个记号：“ ∣ ”。若 \dfrac{b}{a} 为整数，则记为 a∣b ，读作：“a整除b”。例如： 2∣4 （2整除4）， 3∣6 （3整除6）。

我们不加证明的引入两个定理：

定理一：若 p 为素数， p∣n！ 的充分必要条件是 2 \le p \le n 。

注意到 n! 本身也是一个大于1的自然数，可以运用算数基本定理，将其写成素数乘积的形式。我们不妨设 2 = {p_1} < {p_2} < \cdots < {p_t} \le n ，则我们有： n! = {p_1}^{{r_1}}{p_2}^{{r_2}} \cdots {p_t}^{{r_t}} 。这下，好处就显现出来了，由定理一， {p_1},{p_2}, \cdots ,{p_t} 是2到 n 之间的所有素数！

由此，我们得到： \pi \left( n \right)=t 。

整理一下我们目前的已知结论， n! = {p_1}^{{r_1}}{p_2}^{{r_2}} \cdots {p_t}^{{r_t}} ，而且 {p_1},{p_2}, \cdots ,{p_t} 是2到 n 以内的所有素数。但是，关于 {r_i} ， i=1,2, \cdots ,t 的性质，我们还是什么都不知道。

对此，我们引入第二个定理（ Legendre 定理）：若 n！ 按照算数基本定理的形式写成一系列素数的乘积： n! = {p_1}^{{r_1}}{p_2}^{{r_2}} \cdots {p_t}^{{r_t}} ，则 {r_i} = \left[ {\dfrac{n}{{{p_i}}}} \right] + \left[ {\dfrac{n}{{{p_i}^2}}} \right] + \cdots = \displaystyle{\sum\limits_{j = 1}^\infty {\left[ {\dfrac{n}{{{p_i}^j}}} \right]}} ，其中记号 \left[ x \right] 表示不超过 x 的最大整数。例如 \left[ 3.5 \right]=3 ， \left[ -1.2 \right]=-2 。

接下来，我们引入第一个近似（本篇的近似很多，请做好心理准备）:

{r_i} = \left[ {\frac{n}{{{p_i}}}} \right] + \left[ {\frac{n}{{{p_i}^2}}} \right] + \cdots \approx \frac{n}{{{p_i}}} + \frac{n}{{{p_i}^2}} + \cdots = \frac{n}{{{p_i} - 1}}\\

注：上式右边的等号是等比数列求和公式。另外插一句话，本篇所有的“ \approx ”号的意思是：随着自变量的增大， \approx 号的两边的比值会越来越趋于1。

现在，我们将 {r_i} \approx \dfrac{n}{{{p_i} - 1}} 代入 n! = {p_1}^{{r_1}}{p_2}^{{r_2}} \cdots {p_t}^{{r_t}} ，得到：

n! = {p_1}^{{r_1}}{p_2}^{{r_2}} \cdots {p_t}^{{r_t}} \approx {p_1}^{\frac{n}{{{p_1} - 1}}}{p_2}^{\frac{n}{{{p_2} - 1}}} \cdots {p_t}^{\frac{n}{{{p_t} - 1}}} = \prod\limits_{2 \le p \le n} {{p^{\frac{n}{{p - 1}}}}} \\

两边取对数可得：

\ln n! \approx n\displaystyle{\sum\limits_{2 \le p \le n} {\dfrac{{\ln p}}{{p - 1}}} }\\

再运用斯特林公式： n! \approx \sqrt {2\pi n} {\left( {\dfrac{n}{e}} \right)^n} ，可得 \ln n! \approx n(\ln n - 1) ，综上，我们得到： n(\ln n - 1) \approx n\displaystyle{\sum\limits_{2 \le p \le n} {\dfrac{{\ln p}}{{p - 1}}} } ，消去一个 n ，可得:

\ln n - 1 \approx \displaystyle{\sum\limits_{2 \le p \le n} {\frac{{\ln p}}{{p - 1}}}} \\

现在，我们得到一个有关 \ln n 与 n 以内全部素数的公式。我们将 n 替换成 x （ x \ge 2 ）,这一步是可行的，至于为什么？事实上，如果读者稍微学过一些伽马函数，了解一些有关该函数的性质，上面的所有推导都可通过适当的定义将 n 换成 x 。

跑题了，总之，我们得到了一个有关 \ln x 与区间 \left[ {2,x} \right] 以内全部素数的公式

\ln x \approx \sum\limits_{2 \le p \le x} {\frac{{\ln p}}{{p - 1}} + 1} \\

注意到当 x \ge 2 时， \dfrac{{\ln x}}{{x - 1}} 单调递减且恒大于0。若 1 < a < b ，则 0 < \dfrac{{\ln b}}{{b - 1}} < \dfrac{{\ln a}}{{a - 1}} 。特别的，对于那一系列素数： 2 = {p_1} < {p_2} < \cdots < {p_t} \le n ，显然有： 0 < \dfrac{{\ln {p_{i + 1}}}}{{{p_{i + 1}} - 1}} < \dfrac{{\ln {p_i}}}{{{p_i} - 1}} 。

说真的，到了这一步，已经想不到有什么路可以走了。

不过有时候，回头看看起点，有时候会有点启发。讲讲历史，看看素数定理最初是怎么来的，顺便，瞻仰一下高斯的天才之处。

1849年，著名天文学家 Encke 给高斯写信，讨论质数出现频率的问题。

高斯回复道:这个问题很有意思!在57年前，也就是在我14岁的时候，偶然得到一本书。书上有一个对数表，还有一个质数表。闲来无事的我，花了一刻钟时间计算了其中1000个。发现了一个规律:质数的分布密度接近于自然对数的倒数，于是我又验算了大概一百万个，结论大体没错。

什么意思？就是在一百万里随便找一千个数，例如485001 \sim 486000，然后十五分钟以内找到这一千个数里的所有素数……

14岁、闲来无事、十五分钟、一千个数内的所有素数、总结出规律……

大神的特点就是:所有人都觉得他在装逼，只有他自己觉得很正常。

扯远了，总而言之，用数学语言把高斯发现的规律写下来就是：

\dfrac{{\pi \left( {x + 1000} \right) - \pi \left( x \right)}}{{1000}} \approx \dfrac{1}{{\ln x}}\\

写的再详细一点就是：

\pi \left( x \right) \sim \int_2^x {\frac{1}{{\ln t}}dt}\\

这样就给了我们启发：要不，看看能不能找到一个简单连续函数 f\left( x \right) ？ 使得对较大的 a ， b （其中 a < b ）有近似关系：

\pi \left( b \right) - \pi \left( a \right) \approx \int_a^b {f\left( t \right)dt} \\

当然了，如果当 x 较大时，有 \pi \left( x \right) \approx \displaystyle{\int_2^x {f\left( t \right)dt}} 岂不是更好？

但是到目前为止，我们根本不知道这样的 f\left( x \right) 是否存在，但是我们可以选择相信它存在，然后代进去运算。当然，这样很不严谨，不过没办法，谁让我们的数学工具就这么一点呢？怪我们自己喽。

现在，我们