亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同 z − a = 0 {\displaystyle z-a=0} 时 1 ( z − a ) n {\displaystyle {\frac {1}{(z-a)^{n}}}} 的奇点。也就是说，如果当 z → a {\displaystyle z\to a} 时，函数 f ( z ) → ∞ {\displaystyle f(z)\to \infty } ，那么 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在 z = a {\displaystyle z=a} 处便具有极点。

假设 U {\displaystyle U}   是复平面 C {\displaystyle \mathbb {C} }  的开子集， a {\displaystyle a}  是 U {\displaystyle U}  的一个元素， f : U − { a } → C {\displaystyle f:U-\{a\}\to \mathbb {C} }  是一个在定义域内全纯的函数。如果存在一个全纯函数 g : U → C {\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }  和一个非负整数 n {\displaystyle n}  ，使得对于所有 U − { a } {\displaystyle U-\{a\}}  内的 z {\displaystyle z}  ，都有

那么 a {\displaystyle a}  便称为 f {\displaystyle f}  的极点。满足以上条件的最小整数 n {\displaystyle n}  称为极点的阶。一阶的极点又称为简单极点。

1.函数f在极点a的极限值是 ∞ {\displaystyle \infty }  .也就是说

2.由性质1.可知,如果令函数

那么代入定义可知：

其中 1 g ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{g(z)}}}  在 z = a {\displaystyle z=a}  点解析。那么有 z = a {\displaystyle z=a}  是 h ( z ) {\displaystyle h(z)}  的m阶零点。

3.由于 g {\displaystyle g}  是全纯函数， f {\displaystyle f}  可以表示为：

这是一个洛朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数 ∑ k ≥ 0 a k ( z − a ) k {\displaystyle \sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}}  称为 f {\displaystyle f}  的正则部分。因此，点 a {\displaystyle a}  是 f {\displaystyle f}  的 n {\displaystyle n}  阶极点，当且仅当 f {\displaystyle f}  在 a {\displaystyle a}  处的罗朗级数中所有低于 − n {\displaystyle -n}  的次数都为零，而 − n {\displaystyle -n}  次项不为零。

如果函数 f {\displaystyle f}  的一阶导数在 a {\displaystyle a}  处具有简单极点，则 a {\displaystyle a}  是 f {\displaystyle f}  的一个分支点（英语：Branch point），但反过来不成立。

一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点。

除了一些孤立奇点外全纯的函数，且所有的奇点均为极点，则该函数称为亚纯函数。