参考《常微分方程》第三版（王高雄）

前面介绍了线性微分方程的求解，现在考虑线性微分方程组的求解。

记号和定义：

考虑如下方程组：（p186）

作以下变换：

则（5.1）等价为以下形式：

齐次线性与非齐次线性微分方程组：（p202）

参考第四章，我们也先引入一些用到的定义。

1.朗斯基行列式（p203）

2.向量函数的线性相关&线性无关（p202）

3.基本解组(p205)

4.矩阵或向量在闭区间上连续、可微、可积：如果它的每一个元都在该闭区间上连续、可微、可积

5.（5.4）的解的定义（p189）

6.矩阵可微的性质（p188）

7.矩阵和向量的范数定义及其性质（p195）

8.解矩阵、基解矩阵（p208）

9.基解矩阵的性质（p208）

a）存在唯一性定理（p196）

b）叠加原理（p202）

c） 向量函数线性相关性与朗斯基行列式的关系（p203）

d）方程解（函数）线性无关，则朗斯基行列式不为0（p204）

e）通解结构定理（p205）

a）齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组解之间的关系（p211）

b）常数变易法（p211）

定理

此外：注意到5.1.1关于n阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）等价性的论述，我们可以得到关于n阶非齐次线性微分方程的常数变易公式.

（5.28）的任一解 u(t) 都具有形式：

通解就是

x^{'}=Ax ，A是n*n的常数矩阵

定义：

我们规定 A^{0}=E，exp0=E，0！=1

其中

expA的性质

常系数齐次线性微分方程组（5.33）的解：

a)矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、特征方程

b）常系数微分方程的基解矩阵定理（p227）

c）当A是任意的n*n矩阵时，（5.33）的基解矩阵的计算方法（p228）

一般地，有

其中

（5.52）的应用

matlab解微分方程：

matlab实现：

可见结构与书上结果相同。

matlab实现：

虽然与书中结果不一致，但是也是正确的，注意：tan（t），对于自变量t，要加括号。

2020.11.20