假设贷款总额是A，而每月利息是b，总共360期，目标是计算每个月应该给银多少钱，推导过程如下。

设每个月还银行的本金为 m n ( 1 ≤ n ≤ 360 ) m_n ( 1 \leq n \leq 360) mn​(1≤n≤360) 每个月还给银行的本金加上利息设为c，则每月的c是固定的。

现在分析一下第i个月的还款情况，前面i-1个月已经还了本金 ∑ n = 1 i − 1 m n \sum_{n=1}^{i - 1} m_{n} ∑n=1i−1​mn​，故此时只欠银行的本金为： A − ∑ n = 1 i − 1 m n A - \sum_{n=1}^{i - 1} m_{n} A−∑n=1i−1​mn​，所本月应还的利息是： ( A − ∑ n = 1 i − 1 m n ) b (A - \sum_{n=1}^{i - 1} m_{n})b (A−∑n=1i−1​mn​)b，c应该是利息加上应还有本金，故有：

c = ( A − ∑ n = 1 i − 1 m n ) b + m i , 1 ≤ i ≤ 360 ( 式 1 ) c = (A - \sum_{n = 1} ^ {i-1}m_{n})b + m_{i}, 1 \leq i \leq 360 (式1) c=(A−n=1∑i−1​mn​)b+mi​,1≤i≤360(式1)

当还完第360个月之后，应该不再欠银行钱了，于是有： A − ∑ n = 1 360 m n = 0 ( 式 2 ) A - \sum_{n=1}^{360}m_{n} = 0 (式2) A−n=1∑360​mn​=0(式2)

当式1取i = 360时，联合式2即有： c = ( A − ∑ n = 1 359 m n ) b + m 360 c = (A - \sum_{n=1}^{359} m_{n})b + m_{360} c=(A−n=1∑359​mn​)b+m360​ A − ∑ n = 1 359 m n − m 360 = 0 A - \sum_{n=1}^{359} m_{n} - m_{360} = 0 A−n=1∑359​mn​−m360​=0 于是有： c = m 360 b + m 360 c = m_{360}b + m_{360} c=m360​b+m360​ 即： m 360 = c 1 + b m_{360} = \frac {c} {1 + b} m360​=1+bc​

再次，对式1分别写出第i-1月和第i月的公式，即： c = ( A − ∑ n = 1 i − 2 m n ) b + m i − 1 c = (A - \sum_{n = 1}^{i -2}m_{n})b + m_{i-1} c=(A−n=1∑i−2​mn​)b+mi−1​ c = ( A − ∑ n = 1 i − 2 m n − m i − 1 ) b + m i = ( A − ∑ n = 1 i − 2 m n ) b − m i − 1 b + m i c = (A - \sum_{n = 1}^{i - 2}m_{n} - m_{i-1})b +m_{i} = (A - \sum_{n = 1}^{i-2} m_{n})b - m_{i-1}b + m_{i} c=(A−n=1∑i−2​mn​−mi−1​)b+mi​=(A−n=1∑i−2​mn​)b−mi−1​b+mi​ 将 m i m_{i} mi​看成已知，则可通过这两式子联合求得 m i − 1 m_{i-1} mi−1​为： m i − 1 = m i 1 + b m_{i-1} = \frac {m_{i}} {1 + b} mi−1​=1+bmi​​

这就是 m i m_{i} mi​的递推公式，而 m 360 = c 1 + b m_{360} = \frac {c} {1+b} m360​=1+bc​，于是得到： m 1 = c ( 1 + b ) 360 m_{1} = \frac {c} {(1+b)^{360}} m1​=(1+b)360c​

最后将式1写出第1个月的公式为： c = A b + m 1 c = Ab + m_{1} c=Ab+m1​

即： c = A b + c ( 1 + b ) 360 c = Ab + \frac {c} {(1+b)^{360}} c=Ab+(1+b)360c​ 移项得： c ( 1 − 1 ( 1 + b ) 360 ) = A b c(1 - \frac {1} {(1+ b)^{360}}) = Ab c(1−(1+b)3601​)=Ab 即： c ( ( 1 + b ) 360 − 1 ( 1 + b ) 360 ) = A b c(\frac {(1+b)^{360} - 1} {(1 + b)^{360}}) = Ab c((1+b)360(1+b)360−1​)=Ab 故得： c = A b ( 1 + b ) 360 ( 1 + b ) 360 − 1 c = \frac {Ab(1+b)^{360}} {(1+b)^{360} - 1} c=(1+b)360−1Ab(1+b)360​

还没有写完……