一、知识点： 

1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 

3、常用公式 

等差数列的总和=（首项+末项） 项数 2 

项数=（末项-首项） 公差+1 

末项=首项+公差 （项数-1） 

首项=末项-公差 （项数-1） 

公差=（末项-首项） （项数-1） 

等差数列（奇数个数）的总和=中间项 项数 

二、典例剖析： 

例（1） 在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 

分析： （1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 

项数=（末项-首项） 公差+1,便可求出。 

（2）根据公式：末项=首项+公差 （项数-1） 

解： 项数=（201-3） 3+1=67 

末项=3+3 （201-1）=603 

答：共有67个数，第201个数是603 

练一练： 

在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 

答案: 第48项是286，508是第85项 

例（2 ）全部三位数的和是多少？ 

分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这 一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 

解： 　 （100+999） 900 2 

=1099 900 2 

=494550 

答：全部三位数的和是494550。 

练一练： 

求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 

答案: 1000 

例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 

分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。 

解一： 11+21+31+……+91 

=（11+91） 9 2 

=459 

分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是459 9=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项 n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。 

解二：11+21+31+……+91 

=51 9 

=459 

答：和是459。 

练一练： 

求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 

答案: 11385 

例（4） 求下列方阵中所有各数的和： 

1、2、3、4、……49、50； 

2、3、4、5、……50、51； 

3、4、5、6、……51、52； 

…… 

49、50、51、52、……97、98； 

50、51、52、53、……98、99。 

分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。 

解一： 每一横行数列之和： 

第一行：（1+50） 50 2=1275 

第二行：（2+51） 50 2=1325 

第三行：（3+51） 50 2=1375 

…… 

第四十九行：（49+98） 50 2=3675 

第五十行：（50+99） 50 2=3725 

方阵所有数之和： 

1275+1325+1375+……+3675+3725 

=（1275+3725） 50 2 

=125000 

分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先将第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。 

解二：（1+50） 50 2 50=63750 

50 （1+2+3+……+49） 

=50 【（1+49） 49 2】 

=61250 

63750+61250=125000 

答：这个方阵的和是125000 

练一练： 

求下列方阵中100个数的和。 

0、1、2、3、……8、9； 

1、2、3、4、……9、10； 

2、3、4、5、……10、11； 

…… 

9、10、11、12、……17、18。 

答案: 900 

例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛? 

分析：设共有几个选手参加比赛，分别是A 、A2、A3 A 、……An 。从A 开始按顺序分析比赛场次： 

A 必须和 A2 、A3、A4、……，An逐一比赛1场，共计（n-1）场； 

A2已和A 赛过，他只需要和A 3、A4 、A5 、……、An各赛1场，共计（n-2）场 

A 3已和A A2赛过、他只需要和A4、 A5、 A6、……、An 、各赛1场，共计（n-3）场。 

以此类推，最后An-1只能和An赛1场 

解： Sn=（n-1）+（n-2）+……+2+1 

= （1+n-1） （n-1） 

= n (n-1)（场） 

根据题意，Sn=105(场)，则n （n-1）=210，因为n是正整数，通过试算法，可知15 14=210. 

则n=15,即共有15个男生参加了比赛。 

答：有15个男生参加了比赛。 

练一练： 

从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？ 

答案： 625种 

例（6）若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？ 

分析：从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。题目要求的是等差数列末项 a - a =d (n-1)=6 (16-1)=90(人) 

解： a +a =S 2 n=912 2 16=114（人） 

外圈人数=（90+114） 2=102（人） 

内圈人数=（114-90） 2=12（人） 

答： 最外圈有102人，最内圈有12人。 

练一练： 

若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？ 

答案： 52人 

模拟测试（ 4 ） 

一、填空题 （每小题5分） 

1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是 。 

2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第 项。 

从2开始的连续100个偶数的和是 。 

3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有 个座位。 

4、所有 

5、除以4余1的三位数的和是 。 

6、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲 下。 

7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放 

本书，最下面一层放 本书。 

8、从200到500之间能被7整除的各数之和是 。 

9、在1949、1950、1951、……1987、1988、这40个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多 。 

10、有一列数：1、2002、2001、1、2000、1999、1、……、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数中大数减去小数的差，从第一个数开始到第2002个数为止这2002个数的和是 。 

二、简答题 (每小题10分) 

1、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？ 

2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10，得到错误的结果为114，那么实际上全胡同有多少家？ 

3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？ 

4、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？ 

5、X+Y+Z=1993有多少组正整数解？ 

模拟测试（ 4 ） 解答 

一、填空题 

1、8014 

6+4 （2003-1） 

=6+4 2002 

=8014 

2、16 

（45-0） 3+1 

=45 3+1 

=16 

3、10100 

末项=2+（100+1） 2=200 

和=（2+200） 100 2=10100 

4. 1150 

a =70-(25-1) 2=22(个) 

总座位数：（22+70） 25 2=1150（个） 

5、123525 

所有除以4余1的三位数为：101、105、109、……997。 

项数：（997-101） 4+1=225 

和：（101+997） 225 2=123525 

6、180 

（1+12） 12+1 24 

=13 12+24 

=180（下） 

7、100、140 

中间一层本数：600 5=120（本） 

最上面一层：12-10 2=100（本） 

最下面一层：120+1 2=140（本） 

8、15050 

构成等差数列为：203、210、……、497。 

项数=（497-203） 7+1=43 

数列和=（203+497） 43 2=15050 

9、20 

（1950+1988） 20 2-（1949+1987） 20 2 

=3938 20 2-3936 20 2 

=39380-39360 

=20 

10、1782225 

在原数列中，以数1为标志，把三个数看成一组，2002 3=667……1，其中2001个数分为667组，有667个1，因为余下的一个数恰为1，则2002个数中有668个1，其余的数是2002则669有1334个数。 

668 1+（2002+669） 1334 2 

=668+1781557 

=1782225 

二、简答题 

1、解： 

答：题中要求办不到。 

2、解：误把1看成10，错误结果比正确结果多10-1=9，那么正确结果为114-9=105，即全胡同门牌号组成的数列求和为105 

设全胡同有n家，此数列为1、2、3……、n。 

数列求和：（1+n） n 2=105 

（1+n） n=210 

将210分解：210=2 3 5 7 

=14 15 

则n为14 

答：全胡同实际有14家。 

3、解： 7+95=102（根） 

95-7+1=89（层） 

102 89 2=4539（根） 

答：这堆圆木一共有4539根。 

4、解：第100层有点：6+（99-1） 6 

=6+98 6 

=6 99 

=594（个） 

点阵只有点： 1+（6+594） 99 2 

=1+600 99 2 

=29701（个） 

答：这个点阵共有点29701个。 

5、解： 当X=1991时，则Y+Z=2， Y=Z=1 有1组 

当X=1990时，则Y+Z=3， 或 有2组 

当X=1989时，则Y+Z=4. 或 或 有3组 

…… 

当X=2时，则Y+Z=1991 有1990组 

当X=1时，则Y+Z=1992 有1991组 

X不能等于1992或1993 

原方程中不同的整数解，组数为： 

1+2+3+4+……+1991 

=1991 1992 2 

=1983036 

答：共有1983036组正整数解。