等差数列求和公式 |
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等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……(2n-1)。等差数列{an}的通项公式为:an=a1+(n-1)d。前n项和公式为:Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。注意: 以上n均属于正整数。 目录 1 一般定义2 扩展:幂次数列3 其他结论 4 特殊性质5 求和公式(字母) 6 求和公式(文字) 一般定义编辑 等差数列遵守 的形式, 可规定b为数列的0项,记为a0,k为数列的公差,记为d,y为通项公式,记为an 则 对应的求和数列 其中 正整数 扩展:幂次数列编辑 数列: 求和数列: 方阵 等差数列是幂次数列的特殊形式 数列: 求和数列: 编辑 首项: /末项-(项数-1)×公差 末项: 通项公式: 项数: 公差: 如:数列1,3,5,7,……,97,99 公差就是d=3-1=2 将 推广到 ,则为: a1,a2,a3....an,n=奇数,Sn=(a((n-1)/2))*((n-1)/2) 特殊性质编辑 1.在数列 中,若 ,则有: ①若 ,则am+an=ap+aq. ②若m+n=2q,则am+an=2aq. 2.在等差数列中,若Sn为该数列的前n项和,S2n为该数列的前2n项和,S3n为该数列的前3n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也为等差数列。 求和公式(字母)编辑 设首项为 ① ② ③ ④ 当d≠0时,Sn是n的二次函数,(n,Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。 注意:公式一二三事实上是等价的,在公式一中不必要求公差等于一。 求和推导 证明:由题意得: Sn=a1+a2+a3+。。。+an① Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1② ①+②得: 2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时) Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2 Sn=n(A1+An)/2 (a1,an,可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值,即A1+An) 求和公式(文字)编辑 【(首项+末项)×项数】÷2 首项×项数+【项数(项数-1)×公差】/2 {【2首项+(项数-1)×公差】项数}/2 |
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