第八章 向量代数与空间解析几何 |
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第八章 向量代数与空间解析几何
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说明：为了复习高数，该文章是学习课程《高等数学》同济版 全程教学视频（宋浩老师）而记录的笔记，笔记、一些图的MATLAB代码来源于本人。若有侵权，请联系本人删除。笔记难免可能出现错误或笔误，若读者发现笔记有错误，欢迎在评论里批评指正。参考书籍：高等数学下册(同济_第7版)。此笔记对应的pdf文件的百度网盘下载链接为：https://pan.baidu.com/s/14938bMQtphT_YKsgmXfYQA，提取码：48ur。另外，如果没有学习过线代，建议先学完其前一、二章的内容，这样才方便理解本章使用的少量线代知识以及本人给出的部分图的MATLAB代码。 目录：一、向量的基本概念及线性运算；二、空间直角坐标系、利用坐标作向量的线性运算；三、向量模、两点的距离公式、方向角、方向余弦；四、向量在轴上的投影、数量积、向量积；五、混合积、平面及其方程（点法式、一般式、截距式，平面之间的夹角、平面外一点到平面的距离公式）；六、空间直线及其方程（一般式、对称式、参数方程）；七、两条直线之间的夹角、直线与平面之间的夹角；八、平面束、曲面及方程（球面、旋转曲面、柱面，母线、准线，二次曲面（椭圆锥面、旋转椭球面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面））；九、空间曲线及其方程（一般式、参数方程，螺旋线）；十、空间曲线在坐标面上的投影 一、向量的基本概念及线性运算 二、空间直角坐标系、利用坐标作向量的线性运算 三、向量模、两点的距离公式、方向角、方向余弦 四、向量在轴上的投影、数量积、向量积   五、混合积、平面及其方程（点法式、一般式、截距式，平面之间的夹角、平面外一点到平面的距离公式）    六、空间直线及其方程（一般式、对称式、参数方程） 七、两条直线之间的夹角、直线与平面之间的夹角 八、平面束、曲面及方程（球面、旋转曲面、柱面，母线、准线，二次曲面（椭圆锥面、旋转椭球面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面））    %------------------------1.椭圆锥面-------------------------
t=(-5:0.1:5).';theta=0:10:360;a=5;b=3;
x=a*t*cosd(theta);y=b*t*sind(theta);z=t*ones(1,length(theta));
figure
mesh(x,y,z);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('x^2/a^2+y^2/b^2=z^2 注：a=5,b=3');
%------------------------2.椭球面-------------------------
theta=0:15:360;a=4;b=2;c=3;t=(-c:0.2:c).';
x=a*sqrt(1-t.^2/c^2)*cosd(theta);y=b*sqrt(1-t.^2/c^2)*sind(theta);z=t*ones(1,length(theta));
x1=x;y1=a*sqrt(1-t.^2/c^2)*sind(theta);z1=z;
figure
mesh(x,y,z);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 注：a=4,b=2，c=3');
hidden off %打开透视
figure
mesh(x1,y1,z1);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('（x^2+y^2）/a^2+z^2/c^2=1 注：a=4，c=3');
hidden off %打开透视
%------------------------3.单叶双曲线-------------------------
theta=0:5:360;a=4;b=2;c=3;t=(-3:0.1:3).';
x=a*sqrt(1+t.^2/c^2)*cosd(theta);y=b*sqrt(1+t.^2/c^2)*sind(theta);z=t*ones(1,length(theta));
x1=x;y1=a*sqrt(1-t.^2/c^2)*sind(theta);z1=z;
figure
mesh(x,y,z);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 注：a=4,b=2，c=3');
hidden off %打开透视
%------------------------4.双叶双曲线-------------------------
theta=0:10:360;a=2;b=3;c=5;t=[-8:0.3:-a,a:0.3:8].';
x=t*ones(1,length(theta));y=b*sqrt(t.^2/a^2-1)*cosd(theta);z=c*sqrt(t.^2/a^2-1)*sind(theta);
figure
mesh(x,y,z);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1 注：a=2,b=3，c=5');
hidden off %打开透视
%------------------------5.椭圆抛物面-------------------------
theta=0:10:360;a=5;b=3;t=(0:0.1:6).';
x=a*sqrt(t)*cosd(theta);y=b*sqrt(t)*sind(theta);z=t*ones(1,length(theta));
figure
mesh(x,y,z);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('x^2/a^2+y^2/b^2=z 注：a=5,b=3');
hidden off %打开透视
%------------------------6.双曲抛物面-------------------------
a=5;b=3;N=0.1;%N为间隔
x=((-5:N:5).')*ones(1,length(-5:N:5));y=ones(length(-5:N:5),1)*(-5:N:5);
z=zeros(length(-5:0.2:5),length(-5:0.2:5));%初始化z
for i=1:length(x)
for j=1:length(x)
z(i,j)=x(i,j)^2/a^2-y(i,j)^2/b^2;
end
end
figure
mesh(x,y,z);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('x^2/a^2-y^2/b^2=z 注：a=5,b=3');
hidden off %打开透视九、空间曲线及其方程（一般式、参数方程，螺旋线） %---------------例1-----------------
N=0.05;%间隔
theta=0:10:360;a=2;b=3;c=5;t=(0:N:7).';
x=ones(length(t),1)*cosd(theta);
y=ones(length(t),1)*sind(theta);
z=t*ones(1,length(theta));
t1=(-3:N:3).';t2=(-2:N:2);
x1=t1*ones(1,length(t2));
y1=ones(length(t1),1)*t2;
z1=(6-3*x1)/2;
figure
mesh(x,y,z);
hold on
mesh(x1,y1,z1);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('例1');
hidden off %打开透视
hold off
%-----------------例2---------------
N=0.05;%间隔
a=4;t=(0:N:a).';theta=0:10:360;
z=t*ones(1,length(theta));
x=( sqrt(a^2*ones(length(t),1) - t.^2) )*cosd(theta);
y=( sqrt(a^2*ones(length(t),1) - t.^2) )*sind(theta);
t1=(-2:N:5).';
z1=t1*ones(1,length(theta));
x1=ones(length(t1),1)*( a/2*cosd(theta) + a/2*ones(1,length(theta)) );
y1=ones(length(t1),1)*( a/2*sind(theta) );
figure
mesh(x,y,z);
hold on
mesh(x1,y1,z1);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('例2');
hidden off %打开透视
hold off
%-----------------例3---------------
N=0.1;%间隔
a=3;t=(-2:N:4).';theta=0:10:360;
z=t*ones(1,length(theta));
x= a*ones(length(t),1) *cosd(theta);
y= a*ones(length(t),1) *sind(theta);
t1=(0:N:3).';w=120;v=1;
x1=a*cosd(w*t1);
y1=a*sind(w*t1);
z1=v*t1;
figure
mesh(x,y,z);
hold on
plot3(x1,y1,z1,'r');
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('例3');
hidden off %打开透视
hold off十、空间曲线在坐标面上的投影 %------------------------例5-------------------------
t=(0:0.1:5).';theta=0:10:360;a=3;r=2;
z=t*ones(1,length(theta));
x= abs(t)/sqrt(3) * cosd(theta);
y= abs(t)/sqrt(3) * sind(theta);
t1=(0:0.1:r).';
z1=t1*ones(1,length(theta));
x1= sqrt( r.^2*ones(length(t1),1) - t1.^2) * cosd(theta);
y1= sqrt( r.^2*ones(length(t1),1) - t1.^2 ) * sind(theta);
figure
mesh(x,y,z);
hold on
mesh(x1,y1,z1);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');axis equal
title('例5');
hold off
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