二次编辑：文章其实于一个月之前就已完成，近日看见后辈在不懈努力，而我却摆烂了一月有余，没有任何成就，混混沌沌学习，期间还夹杂了高浓度农批和杀软二次元的复杂成分，现在想想，顿觉羞愧。于是翻遍草稿箱，找出这两篇勉强可以发的出去的玩意，先冲一波业绩；并希望可以借此自勉，以后勤奋学习。

写作目的：

这篇文章的写作目的源于两点：一则是笔者所在的某所大学的某些考试的某些面试需要回顾知识，笔者在复习面试的时候需要回顾知识点，为了总结书中之精华而写。

二则是这学期混了个某大学的给高年级的学业导师的职务，混志愿者时长+学校给钱嘛，站着把钱挣了，不寒碜。但是需要辅导低年级小朋友的话，不好好复习准备一番也是不可的，所以就趁写这些小文的时候顺带着复习了。

所以总而言之，这篇小文的创作初衷，就是为了我个人而写的，所以在材料的选取上也相当局限，我只会选取现在我仍然认为重要且有难度的、我还没有完全掌握的知识，我自己已经完全了然于心的内容则不会整理进去。

当然，既然要发表，那就还是得有适用读者的：

适用读者：

一来可以复习备考用。学习相关基础课程（尤其是直接以此书为教材的同学）考前可以看看这篇小文，权当知识点总结了。

而来可以作为读书前的了解——毕竟这本书也并不是很“新手向”，若对此书感兴趣的话，可以先看看这个，再决定是否要深入读下去。这么来说，这篇小文或许可以起到抛砖引玉之作用，善哉。

当然这也只是我暂时想到的适用人群，大家切勿被这段话缚住手脚。

公理（完备性公理、连续性公理）：设 X,Y 是 \mathbb{R} 中的非空子集，且对于任意的 x\in X,y\in Y 都有 x\leq y ，则存在 c\in\mathbb{R} 使得对任意 x\in X,y\in Y 都有 x\leq c\leq y .

引理（上确界引理）：实数集的任何有上界非空子集有唯一的上确界。

闭区间套引理（Cauchy-Cantor原理）

有限覆盖引理（Borel-Lebesgue原理）

极限点引理（Bolzano-Weierstrass原理）：任何无穷有界数集都含有一个极限点。

定理（Cantor定理）： |\mathbb{N}|\varepsilon>0 都存在 n 使得 i-\varepsilon< i_n=\inf_{k\geq n}x_k\leq x_k\\ 故而仅需证明下极限是部分极限，而这得自于 \{i_n\} 不减且收敛到有限值 i ，故而对任意的 n 都存在正整数 k_n 满足 \{k_n\} 递增且使得 i_{k_{n-1}+1}\leq x_{k_n}\leq i_{k_{n-1}+1}+\frac{1}{n}\\ 这就构造了目标子列。

根式判别法与比式判别法： \liminf\frac{x_{n+1}}{x_n}\leq\liminf \sqrt[n]{x_n}\leq\limsup\sqrt[n]{x_n}\leq\limsup\frac{x_{n+1}}{x_n}\\ 命题（Cauchy）：设 \{a_n\} 是非负递减序列，则 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛当且仅当 \displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2^na_{2^n} 收敛。

命题（Heine）： \displaystyle\lim_{E\owns x\to a}f(x)=A 的充要条件是，对任意由点 x_n\in E\setminus\{a\} 组成且收敛于 a 的序列 \{x_n\} ，序列 \{f(x_n)\} 收敛于 A 。

定理（函数极限存在的Cauchy准则）：设 \mathcal{B} 是 X 中的基， f:X\to\mathbb{R} 在该基中有极限，当且仅当任给 \varepsilon>0 都存在基中元素 B 使得 f 在 B 中振幅小于 \varepsilon .

定义：在一个基上 f=o(g) 指的是在该基上有 f(x)=\alpha(x)\cdot g(x) ，且在该基上 \alpha(x) 是无穷小函数。

定义：在一个基上 f=O(g) 指的是在该基上有 f(x)=\beta(x)\cdot g(x) ，且在该基上 \beta(x) 是最终有界函数。

定义：在一个基上 f\asymp g 若在该基上有 f=O(g),g=O(f) ，此时称 f,g 同阶。

定义：在一个基上 f\sim g 指的是在该基上有 f(x)=\gamma(x)\cdot g(x) 且 \lim_{\mathcal{B}} \gamma(x)=1 ，此时称 f 在该基上渐进/等价于 g ，这是一个等价关系。

Remark：定义在某集合上的孤立点（不是极限点的点）是连续的，当然这是退化情形。

例子（Riemann函数）：由于对任意的实数 a 的任意有界邻域，对任意的正整数 N 而言，在该邻域内的形如 \frac{m}{n} 的有理数，其中 n\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\forall x_1,x_2\in E,(|x_1-x_2|0,p,q\neq0,1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1">a,b>0,p,q\neq0,1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 ，则 a^\frac{1}{p}b^\frac{1}{q}\leq\frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b\quad(p>1)\\ a^\frac{1}{p}b^\frac{1}{q}\geq\frac{1}{p}a+\frac{1}{q}b\quad(px>0 时 x^\alpha-\alpha x+\alpha-1\leq 0 \quad 0