微积分：如何理解方向导数与梯度？ |
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微积分：如何理解方向导数与梯度？
文章目录
前言
方向导数
梯度
方向导数公式的证明
前言
前文介绍了多元函数微分的实质，接下来介绍多元函数中的方向导数与梯度，以二元函数为例
方向导数
方向导数的实质：自变量沿着xoy平面上的某个方向变化时，f的变化率（一元函数微分） 
曲面S沿着u = (a, b)方向在(x0, y0, z0)的方向导数，是 作一平面C，C垂直于平面xoy且经过方向向量u所在的直线。C与S的交线（曲线）在(x0, y0, z0)的导数（一元函数微分）
请注意，此处沿着u方向，向量u是xoy平面上的单位向量，用于指示自变量的变化方向，而不是三维空间中的向量。由于u是单位向量，故必然存在 θ \theta θ，使得
c o s θ = a , s i n θ = b cos\theta = a, sin\theta = b cosθ=a,sinθ=b 易知， θ \theta θ就是向量u和x轴的夹角 例如我们熟知的两个偏导数，分别是沿着x轴和y轴的方向导数，即上图中的平面C应当垂直于xoy平面，且经过x轴（y轴） 根据上一篇文章对一元函数微分的讨论可知，该方向导数应当是（一元函数微分）D u f ∣ ( x 0 , y 0 , z o ) = l i m h − > 0 f ( x 0 + h a , y 0 + h b ) − f ( x 0 , y 0 ) h ( ∗ ) D_u f |_{(x0, y0, zo)} = lim_{h->0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h}\ \ (*) Duf∣(x0,y0,zo)=limh−>0hf(x0+ha,y0+hb)−f |
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