离散数学的一些笔记整理 |
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近期一直在复习离散数学和程序设计的内容,整理成笔记。 1. 关于命题的公式 (1) 双重否定律$$A \Longleftrightarrow \urcorner \urcorner A$$ (2) 幂等律$$A \Longleftrightarrow A \vee A \qquad A \Longleftrightarrow A \wedge A$$ (3) 交换律$$A \vee B \Longleftrightarrow B \vee A \qquad A \wedge B \Longleftrightarrow B \wedge A$$ (4) 结合律$$(A \vee B) \vee C \Longleftrightarrow A \vee (B \vee C)$$ $$(A \wedge B) \wedge C \Longleftrightarrow A \wedge (B \wedge C)$$ (5) 分配律$$A \vee (B \wedge C) \Longleftrightarrow (A \vee B) \wedge (A \vee C)(\vee 对 \wedge 的分配律)$$ $$A \wedge (B \vee C) \Longleftrightarrow (A \wedge B) \vee (A \wedge C)(\wedge 对 \vee 的分配律)$$ (6) 德摩根律$$\urcorner(A \vee B) \Longleftrightarrow \urcorner A \wedge \urcorner B$$ $$\urcorner(A \wedge B) \Longleftrightarrow \urcorner A \vee \urcorner B$$ (7) 吸收律$$A \vee (A \wedge B) \Longleftrightarrow A$$ $$A \wedge (A \vee B) \Longleftrightarrow A$$ (8) 零律$$A \vee 1 \Longleftrightarrow 1$$ $$A \wedge 0 \Longleftrightarrow 0$$ (9) 同一律$$A \vee 0 \Longleftrightarrow 0$$ $$A \wedge 1 \Longleftrightarrow 1$$ (10) 排中律$$A \vee \urcorner A \Longleftrightarrow 1$$ (11) 矛盾律$$A \wedge \urcorner A \Longleftrightarrow 0$$ (12) 蕴涵等值式$\bigstar \bigstar \bigstar$$$A \Longrightarrow B \Longleftrightarrow \urcorner A \vee B$$ (13) 等价等值式$$(A \Longleftrightarrow B) \Longleftrightarrow (A \Longrightarrow B) \wedge (B \Longrightarrow A)$$ (14) 假言易位$$A \Longrightarrow B \Longleftrightarrow \urcorner B \Longrightarrow \urcorner A$$ (15) 等价否定等值式$$A \Longleftrightarrow B \Longleftrightarrow \urcorner A \Longleftrightarrow \urcorner B$$ (16) 归谬论$$(A \Longrightarrow B) \wedge (A \Longrightarrow \urcorner B) \Longleftrightarrow \urcorner A$$ 2. 联结词完备集定义:一个联结词集合(如${\urcorner、\vee、\wedge}$),若对任何一个公式均可以用该集合中的联结词来表示或等值表示,就称为联结词完备集。 如果该集合任意去掉一个联结词,就不再具备这种特性,就称为最小完备集。 3. 与非联结词定义:设$p、q$为两个命题,符合命题“$p$与$q$的否定式”(“$p$或$q$的否定式”)称作$p,q$的与非式(或非式),记作$p \uparrow q$($p \downarrow q$)。符号$\uparrow$($\downarrow$)称作与非联结词(或非联结词),$p \uparrow q$为真当且仅当$p$与$q$不同时为真($p \downarrow q$为真当且仅当$p$与$q$同时为假) 4. 自然推理系统定义:一个形式系统$I$由下面四个部分组成: (1) 非空的字母表,记作$A(I)$ (2) $A(I)$中符号构造的合式公式集,记作$E(I)$ (3) $E(I)$中一些特殊的公式组成的公理集,记作$A_{X}(I)$ (4) 推理规则集,记作$R(I)$
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