求单位冲激响应 h [ k ] h[k] h[k]： 求解系统的差分方程，假设单位冲激响应 h [ k ] = ( 2 ⋅ 2 k − 1 ) u [ k ] h[k] = (2 \cdot 2^k - 1) u[k] h[k]=(2⋅2k−1)u[k]。

计算卷积和 y z s [ k ] y_{zs}[k] yzs​[k]： y z s [ k ] = x [ k ] ∗ h [ k ] = 3 k u [ k ] ∗ ( 2 ⋅ 2 k − 1 ) u [ k ] y_{zs}[k] = x[k] * h[k] = 3^k u[k] * (2 \cdot 2^k - 1) u[k] yzs​[k]=x[k]∗h[k]=3ku[k]∗(2⋅2k−1)u[k]

分步计算卷积和： y z s [ k ] = 3 k u [ k ] ∗ 2 ⋅ 2 k u [ k ] − 3 k u [ k ] ∗ u [ k ] y_{zs}[k] = 3^k u[k] * 2 \cdot 2^k u[k] - 3^k u[k] * u[k] yzs​[k]=3ku[k]∗2⋅2ku[k]−3ku[k]∗u[k]

第一项： 3 k u [ k ] ∗ 2 ⋅ 2 k u [ k ] 3^k u[k] * 2 \cdot 2^k u[k] 3ku[k]∗2⋅2ku[k]

利用公式： α k u [ k ] ∗ β k u [ k ] = β k + 1 − α k + 1 β − α u [ k ] \alpha^k u[k] * \beta^k u[k] = \frac{\beta^{k+1} - \alpha^{k+1}}{\beta - \alpha} u[k] αku[k]∗βku[k]=β−αβk+1−αk+1​u[k] 代入 α = 3 \alpha = 3 α=3 和 β = 2 \beta = 2 β=2，得到： 3 k u [ k ] ∗ 2 k u [ k ] = 2 k + 1 − 3 k + 1 2 − 3 u [ k ] = 2 k + 1 − 3 k + 1 − 1 u [ k ] = − ( 2 k + 1 − 3 k + 1 ) u [ k ] 3^k u[k] * 2^k u[k] = \frac{2^{k+1} - 3^{k+1}}{2 - 3} u[k] = \frac{2^{k+1} - 3^{k+1}}{-1} u[k] = -(2^{k+1} - 3^{k+1}) u[k] 3ku[k]∗2ku[k]=2−32k+1−3k+1​u[k]=−12k+1−3k+1​u[k]=−(2k+1−3k+1)u[k]

第二项： 3 k u [ k ] ∗ u [ k ] 3^k u[k] * u[k] 3ku[k]∗u[k] ∑ n = 0 k 3 n = 3 k + 1 − 1 3 − 1 = 3 k + 1 − 1 2 \sum_{n=0}^{k} 3^n = \frac{3^{k+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{k+1} - 1}{2} n=0∑k​3n=3−13k+1−1​=23k+1−1​

综合计算结果： y z s [ k ] = 2 ⋅ − ( 2 k + 1 − 3 k + 1 ) u [ k ] − 3 k + 1 − 1 2 u [ k ] y_{zs}[k] = 2 \cdot -(2^{k+1} - 3^{k+1}) u[k] - \frac{3^{k+1} - 1}{2} u[k] yzs​[k]=2⋅−(2k+1−3k+1)u[k]−23k+1−1​u[k] 化简得到： y z s [ k ] = ( 9 2 3 k − 4 ⋅ 2 k + 1 2 ) u [ k ] y_{zs}[k] = \left( \frac{9}{2} 3^k - 4 \cdot 2^k + \frac{1}{2} \right) u[k] yzs​[k]=(29​3k−4⋅2k+21​)u[k]