相关函数贯穿整个随机信号处理，下面就着重讨论相关函数。

集合平均下自相关函数计算公式： R x x ( m , n ) = E [ X ∗ ( m ) X ( n ) ] = lim ⁡ N → ∞ 1 N ∑ i = 1 N x i ∗ ( m ) x i ( n ) R_{x x}(m, n)=E\left[X^{*}(m) X(n)\right]=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i}^{*}(m) x_{i}(n) Rxx​(m,n)=E[X∗(m)X(n)]=N→∞lim​N1​i=1∑N​xi∗​(m)xi​(n) 时间平均下自相关函数的计算公式： < x ∗ ( i ) x ( i + j ) > = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ i = − N N x ∗ ( i ) x ( i + j ) < {x^*}(i)x(i + j) > = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {1 \over {2N + 1}}\sum\limits_{i = - N}^N {{x^*}(i)x(i + j)} =N→∞lim​2N+11​i=−N∑N​x∗(i)x(i+j) 平稳随机序列的三种定义不同写法： (1) r x x ( m ) = E [ x ( n ) x ∗ ( n + m ) ] , r x y ( m ) = E [ x ( n ) y ∗ ( n + m ) ] r_{xx}(m) = E[x(n)x^*(n+m)], r_{xy}(m) = E[x(n)y^*(n+m)] rxx​(m)=E[x(n)x∗(n+m)],rxy​(m)=E[x(n)y∗(n+m)] (2) r x x ( m ) = E [ x ( n ) x ∗ ( n − m ) ] , r x y ( m ) = E [ x ( n ) y ∗ ( n − m ) ] r_{xx}(m) = E[x(n)x^*(n-m)], r_{xy}(m) = E[x(n)y^*(n-m)] rxx​(m)=E[x(n)x∗(n−m)],rxy​(m)=E[x(n)y∗(n−m)] (3) r x x ( m ) = E [ x ∗ ( n ) x ( n + m ) ] , r x y ( m ) = E [ x ∗ ( n ) y ( n + m ) ] r_{xx}(m) = E[x^*(n)x(n+m)], r_{xy}(m) = E[x^*(n)y(n+m)] rxx​(m)=E[x∗(n)x(n+m)],rxy​(m)=E[x∗(n)y(n+m)]

三种不同写法的区别： 对于实信号，三者一致； 对于虚信号，为方便比较，令(2)中的 r x x ( m ) r_{xx}(m) rxx​(m)表示为 r x x ′ ( m ) {r}'_{xx}(m) rxx′​(m), 令(3)中的 r x x ( m ) r_{xx}(m) rxx​(m)表示为 r x x ′ ′ ( m ) {r}''_{xx}(m) rxx′′​(m) r x x ( m ) = r x x ′ ( − m ) = r x x ′ ′ ( − m ) r_{xx}(m) = {r}'_{xx}(-m)={r}''_{xx}(-m) rxx​(m)=rxx′​(−m)=rxx′′​(−m)

(1) R x x ( m ) = E [ X n ∗ X n + m ] = E [ X n X n − m ∗ ] R_{xx}(m) = E[X_n^*X_{n + m}] = E[{X_n}X_{n - m}^*] Rxx​(m)=E[Xn∗​Xn+m​]=E[Xn​Xn−m∗​] (2) 自相关函数是偶函数 R x x ( m ) = R x x ( − m ) , R x y ∗ ( m ) = R y x ( − m ) R_{xx}(m) = R_{xx}( - m), R_{xy}^*(m) = {R_{yx}}( - m) Rxx​(m)=Rxx​(−m),Rxy∗​(m)=Ryx​(−m) (4) R x y ( m ) = R x y ( n , n − m ) = E [ X n ∗ Y n + m ] {R_{xy}}(m) = {R_{xy}}(n,n - m) = E[X_n^*Y_{_{n + m}}^{}] Rxy​(m)=Rxy​(n,n−m)=E[Xn∗​Yn+m​​] (5) R x y ( m ) = 0 R_{xy}(m) =0 Rxy​(m)=0，两个序列正交 (6) R x x ( 0 ) Rxx(0) Rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率;（由定义可以直接求得） (7) 相关性随时间差的增大越来越弱： lim ⁡ m → ∞ R x x ( m ) = μ x 2 lim ⁡ m → ∞ R x y ( m ) = μ x μ y \lim _{m \rightarrow \infty} R_{x x}(m)=\mu_{x}^{2} \quad \lim _{m \rightarrow \infty} R_{x y}(m)=\mu_{x} \mu_{y} m→∞lim​Rxx​(m)=μx2​m→∞lim​Rxy​(m)=μx​μy​

对于非周期信号，能量时无穷的，无法使用傅里叶变化，但是信号的自相关函数可能存在傅里叶变换。由上述性质(7) 可知，当相关函数随着时间差趋于无穷时，自相关函数取值趋于均值的平方。当均值为0时，自相关函数就能收敛，傅里叶变换存在。 可以通过预处理，去均值，使自相关函数的均值为0。