必要性证明

很明显 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)≥0, 下面证明 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 ∫−∞+∞​f(x)dx=1

令 x − μ σ = t \frac{x-\mu}{\sigma} = t σx−μ​=t ，则 f ( x ) = 1 2 π σ e − t 2 2 , d x = σ d t f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}, dx = \sigma dt f(x)=2π ​σ1​e−2t2​,dx=σdt

∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − t 2 2 σ d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}\sigma dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{aligned} ∫−∞+∞​f(x)dx=∫−∞+∞​2π ​σ1​e−2t2​σdt=2π ​1​∫−∞+∞​e−2t2​dt​

我们先求 ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt ∫−∞+∞​e−2t2​dt 的积分，很难直接求出其积分，我们需要用到一个技巧，令 I = ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt I=∫−∞+∞​e−2t2​dt

I 2 = ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t ⋅ ∫ − ∞ + ∞ e − u 2 2 d u ( 定 积 分 的 值 与 积 分 变 量 无 关 ， 与 被 积 函 数 和 积 分 上 下 限 有 关 ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 + u 2 2 d t d u = ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ ρ e − ρ 2 2 d ρ d θ ( 利 用 极 坐 标 求 解 定 积 分 值 ) = ∫ 0 2 π − e − ρ 2 2 ∣ 0 + ∞ d θ = ∫ 0 2 π 1 d θ = 2 π ∵ I = ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t > 0 ∴ I = 2 π \begin{aligned} I^2 &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt \cdot\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{u^2}{2}}du \quad(定积分的值与积分变量无关，与被积函数和积分上下限有关) \\&= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2+u^2}{2}}dtdu \\&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty} \rho e^{-\frac{\rho^2}{2}}d\rho d\theta \quad(利用极坐标求解定积分值) \\&=\int_{0}^{2\pi} -e^{-\frac{\rho^2}{2}}|_0^{+\infty} d\theta = \int_{0}^{2\pi}1d\theta \\&= 2\pi \\ &\because I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt>0 \quad \therefore I = \sqrt{2\pi} \end{aligned} I2​=∫−∞+∞​e−2t2​dt⋅∫−∞+∞​e−2u2​du(定积分的值与积分变量无关，与被积函数和积分上下限有关)=∫−∞+∞​∫−∞+∞​e−2t2+u2​dtdu=∫02π​∫0+∞​ρe−2ρ2​dρdθ(利用极坐标求解定积分值)=∫02π​−e−2ρ2​∣0+∞​dθ=∫02π​1dθ=2π∵I=∫−∞+∞​e−2t2​dt>0∴I=2π ​​

∴ ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − t 2 2 d t = 1 2 π ⋅ 2 π = 1 \begin{aligned} \therefore \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot {\sqrt{2\pi}} = 1 \end{aligned} ∴∫−∞+∞​f(x)dx=2π ​1​∫−∞+∞​e−2t2​dt=2π ​1​⋅2π ​=1​