实数的连续性定理，图片来自网络。

实数集合的连续性(简称实数的连续性或者实数的稠密性、实数的完备性)是实数系的一个基本特征, 它是微积分学的坚实的理论基础. 人们从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,得到了一连串的有关实数的连续性定理,其中包括:确界存在定理,闭区间套定理,单调有界收敛定理,聚点定理,有限覆盖定理,柯西准则,致密性定理等.

定理1.1(确界存在定理,简称“确”) 有上界数集必有上确界，有下界数集必有下确界．

定理1.2 (单调有界定理，简称“单”)　任何单调有界数列必定收敛(即必定有极限)．

定理1.3 (区间套定理，简称“区”)　设为闭区间套，即：

(1).

(2) .

则存在唯一一点.

定理1.4 (有限覆盖定理，简称“覆”)　设 是闭区间 的任意开覆盖，即：中每一点都含于 中至少一个开区间内．则在 中必存在有限个开区间，它们构成 的一个有限开覆盖．

定理1.5 (聚点定理，简称“聚”)　直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点，即:在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点( 本身可以属于 ，也可以不属于 )．

定理1.6 (柯西准则，简称“柯”)　数列 收敛的充要条件是：，存在, 只要,  恒有．(后者又称为柯西(Cauchy)条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．)

这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．

对数学专业学生，“阅读参考类”即为知识点，不一定是考点，“基本要求类”和“习题作业类”为知识点也是考点。