一般说到概率，就喜欢拿抛硬币做例子。大多数时候，会简单认为硬币正背面的概率各为二分之一，其实事情远没有这么简单。这篇文章会以抛硬币试验为例子并贯穿全文，引出一系列概率论和数理统计的基本内容。这篇文章会涉及的有古典概型、公理化概率、二项分布、正态分布、最大似然估计和假设检验等一系列内容。主要目的是以抛硬币试验为例说明现代数学观点下的概率是什么样子以及以概率论为基础的一些基本数理统计方法。

好吧，首先我们要回答一个基本问题就是概率为什么是存在的。其实这不是个数学问题，而是哲学问题（貌似一般存在不存在啥的都是哲学问题）。之所以要先讨论这个问题，是因为任何数学活动都是在一定哲学观点前提下进行的，如果不明确哲学前提，数学活动就无法进行了（例如如果在你的哲学观点下概率根本不存在，那还讨论啥概率论啊）。

概率的存在是在一定哲学观点前提下的，我不想用哲学术语拽文，简单来说，就是你首先得承认事物是客观存在的，并可以通过大量的观察和实践被抽象总结。举个例子，我们经常会讨论“身高”，为什么我们都认为身高是存在的？因为我们经过长期的观察实践发现一个人身体的高度在短期内不会出现大幅度的变动，因此我们可以用一个有单位的数字来描述一个人的身体在一段不算长的时间内相对稳定的高度。这就是“身高”作为被普遍承认存在的哲学前提。

与此相似，人们在长期的生活中，发现世界上有一些事情的结果是无法预料的，例如抛硬币得到正面还是背面，但是，后来有些人发现，虽然单次的结果不可预料，但是如果我不断抛，抛很多次，正面结果占全部抛硬币次数的比率是趋于稳定的，而且次数越多越接近某个固定的数值。换句话说，抛硬币这件事，单次结果不可预料，但是多次试验的结果却在总体上是有规律可循的（术语叫统计规律）。

下面是历史上一些著名的抛硬币试验的数据记录：

可以看到，虽然这些试验在不同时间、不同地点由不同的人完成，但是冥冥中似乎有一股力量将正面的占比固定在50%附近。

后来，人们发现还有很多其它不可预测的事情都与抛硬币类似，例如掷骰子、买六合彩等等，甚至渐渐发现不只这些简单的事情，人类社会方方面面从简单到复杂的很多不可预测的事情宏观上看都具有统计规律。于是人们推测，在某些条件下的一些不可预测事件，都是有统计规律的，或者直观说很多不可预测结果的试验在多次进行后总体上看结果会趋近于一些常数（这个现象后来被严格定义为大数定律，成为概率论最基础的定理之一，下文会提到）。这种可观测现象，成为概率存在的哲学基础，而这些常数就是概率在朴素观点下的定义。

在认识到上述事实后，人们希望将这种规律加以利用（人类文明的发展不就是发现和利用规律么，呵呵），但是想要利用就首先要对概率进行严格的形式化定义，也就是要建立数学模型。比较知名的数学模型有古典概型、几何概率模型和公理化概率，本文将会讨论古典概型和公理化概率。

古典概型是人类对概率和统计规律最早的建模尝试，表达了朴素的数学原则下人们对概率的认识。在表述古典概型之前，需要先定义一些概念。

首先是随机试验。

如果一个同时试验满足下面三条原则，则这个试验称为随机试验：

1、可在相同条件下（相对来说）重复进行。

2、可能出现的结果不止一个，但事先明确知道所有可能的结果（可以是无限个，例如所有自然数，但必须事先明确知道结果的取值范围）。

3、事先无法预测在一次试验中哪一个结果会出现。

显然上面的抛硬币试验是一个随机试验。

然后需要定义样本空间和样本点。一个随机试验的样本空间是这个试验所有可能结果组成的集合，而其中每个元素是一个样本点。例如，抛硬币试验中，样本空间为 {F,B} ，其中F表示正面，B表示背面，而F、B就是两个样本点。

另一个非常重要的概念就是随机事件（简称事件）：样本空间的一个子集称为一个事件。例如，抛硬币试验有四个不同的事件： ∅ ， {F} ， {B} ， {F,B} ，分别表示“既不出现正面也不出现反面”，“出现正面”，“出现反面”和“出现正面或反面”。在不考虑硬币立起来等特殊情况时，第一个事件不可能出现，但它确实是一个合乎定义的事件，叫不可能事件；而最后一个事件必然出现，叫必然事件。

有了上面概念，就可以定义古典概型了：

如果一个概率模型满足 1）样本空间是一个有限集合，2）每一个基本事件（只包含一个样本点的事件）出现的概率相同，则这是一个古典概型。例如，在上面的抛硬币试验中，再定义 {F} ， {B} 的概率均为0.5，则就构成了一个古典概型。

古典概型简单、直观，在早期的概率研究中广泛被使用。但是这个模型太朴素太不严格了，在这种不完善的定义下，根本没有办法做严格的数学推理，而且有限样本空间和等可能性在很多现实随机试验中并不满足，甚至对等可能不同定义会导致不同结论。因此必须使用一个更严格的定义，以符合现代数学公理化推导的要求，这就是公理化概率。

公理化概率对概率做如下定义：

概率是事件集合到实数域的一个函数，设事件集合为E，则如若 A∈E→pP(A)∈R 满足：

对于任意事件A， P(A)=0 。

对于必然事件S， P(S)=1 。

对于两两互斥的事件，有 P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An) 。

公理化概率对概率做了严格的数学定义，可以较好的基于公理系统进行推导和证明。但是，概率模型只是给出了概率“是什么”（定性），没有回答“是多少”（定量）这个问题。也就是说，仅有概率模型，是不能定量回答抛硬币问题的。下面介绍对概率进行定量分析的方法。

从公理化概率的角度，我们可以这样定义抛硬币试验的概率：设 N 是全部抛硬币的次数，而 CF 是正面向上的次数，则如下函数定义了这个概率：

容易验证，这个定义完全符合公理化概率的所有条件。下面就是确定 N 和 CF 。不幸的是，显然N是无法穷尽的，因为理论上你不可能抛无数次硬币。由于不能精确度量这个概率，因此你必须通过某个可以精确度量的值去估计这个概率，而且还要从数学上证明这个估计方法是靠谱的，最好能定量给出这个估计量的可信程度。而对不可直接观测概率的一个估计度量值就是频率。

频率是这样定义的：事件A的频率是在相同条件下重复一个实验n次，事件A发生的次数在n次实验中的占比。一种简单的估计概率的方法就是用频率当做概率的估计。

例如，我刚刚抛完十次硬币，其中六次正面，四次背面，因此根据此次实验，我估计我这枚硬币出现正面的概率为0.6。这就是频率估计。

不过你一定有疑惑，为什么可以使用频率估计概率？有上面理论依据？如何对估计的准确性做出定理的分析？下面解答这些问题。

频率估计的理论基础是大数定律。毫不夸张的说，大数定律是整个现代概率论和统计学的最重要基石，几乎一切统计方法的正确性都依赖于大数定律的正确，因此大数定律被有些人称为概率论的首要定律。

大数定律直观来看表述了这样一种事实：在相同条件下，随着随机试验次数的增多，频率越来越接近于概率。注意大数定律陈述的是一个随着n趋向于无穷大时频率对真实概率的一种无限接近的趋势。

下面给出大数定律的数理表述，大数定律有多重数学表述，这里取伯努利大数定律：