矩阵的转置

设 是一个 矩阵, 将 的行与列互换, 得到的一个 矩阵

.

称 为 的转置矩阵, 简称为 的转置.矩阵转置的运算规律见提示 2.4.

例 6 证明: 任何一个 阶方阵总可以唯一地写成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和.

证明 设 是一个 阶方阵. 令

那么

所以是对称矩阵. 又因为

故 为反对称矩阵, 且

.

所以 可表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.我们将唯一性的证明留给读者.

对于一个方阵 , 我们可以考虑所对应的行列式

称 为矩阵 的行列式. 如果 , 则称方阵 是非退化的.

定理 1

两个 阶方阵乘积的行列式等于因子的行列式的乘积, 即: .

定义 1

设 是 阶方阵, 若存在 阶方阵 , 使得

,

则称 是可逆矩阵(或可逆方阵), 称 为 的逆矩阵(或逆方阵), 记作.

定义 2

设 阶方阵 , 是 中元素 的代数余子式, 则矩阵

称为的伴随矩阵.

由行列式按行展开定理可知,

,

所以我们可得

定理 2

方阵 可逆的充分必要条件是 是非退化的, 且当 可逆时, 的逆方阵

其中 是 的伴随矩阵.

例 7 判断 3 阶方阵

是否可逆. 如果可逆, 求逆矩阵 .

解 因为 , 所以由定理 2.2 知 可逆, 并且

为求 , 计算 的各元素的代数余子式, 得

因此 的伴随矩阵

,

所以,

.

矩阵的逆具有如下一些性质(1) 如果 , 都是可逆矩阵, 那么 也可逆, 且 .(2) 如果 可逆, 是一非零数, 则 也可逆, 且 .(3) 如果 可逆, 则 也可逆, 且 .(4) 如果 可逆, 则 .

矩阵的初等变换

定义 3

矩阵的初等行变换是指对矩阵施行以下三种类型的变换:1. 用一个非零数乘矩阵的某行中的每个元素;2. 交换矩阵的两行;3. 把矩阵某一行乘以一个数后加到另一行.相应地, 我们也可以定义矩阵的初等列变换.

下面我们介绍矩阵求逆的另一种方法, 即:初等变换法.对给定的 阶可逆方阵 , 将一个 阶单位方阵 放在 的右边构成一个 阶矩阵 , 对该矩阵施行初等行变换, 目标是把左半边的 化为单位方阵 , 此时右半边的 跟着进行了同样的变换,它就是我们要求的 , 即

.

例 8 设

求 .

解 我们用(I),(II),(III)分别来表示矩阵的第一、二、三行, 则

所以,