图论(5)邻接谱,邻接代数,图空间,托兰定理 |
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目录 一、邻接谱、邻接代数与图空间 (一)图的邻接谱 1、图的邻接谱定义 2、邻接谱的两个性质 (二)、图的邻接代数 1、图的邻接代数的定义 2、图的邻接代数的维数特征 (三)、图空间 二、托兰定理 (一)、l部图的概念与特征 完全l部图 n阶完全l几乎等部图 定理5 完全l部图边数极大 (二)、托兰定理 1、度弱于的定义 托兰定理的引理 托兰定理 (三)、托兰定理的应用 工兵排雷问题 一、邻接谱、邻接代数与图空间 (一)图的邻接谱 1、图的邻接谱定义图的邻接矩阵A(G)的特征值及其重数,称为G的邻接谱。 邻接谱的第一行是特征值,第二行是特征值对应的重数。 同谱图定义:若两个非同构的n阶图具有相同的谱,则称它们是同谱图。 s是特征值个数 用简单图的点数和边数估计了模的上界 (二)、图的邻接代数图的邻接代数是一个向量空间,它是以邻接矩阵的多项式为元素构成的复数域上的向量空间。 1、图的邻接代数的定义 邻接矩阵是针对无环图定义的。 2、图的邻接代数的维数特征 不等式的界是紧的,意味着不可修改。 (三)、图空间 极值图论的早期结果 (一)、l部图的概念与特征 很明显偶图就是2部图呀 完全l部图 完全l部图的总边数是各个部的边数两两相乘的和 n阶完全l几乎等部图 可以看到完全l几乎等部图一共有l个部,各个部的顶点数要么为k要么为k+1,即只相差1,几乎是相等的, 一共有r个顶点数为k+1的部,剩下的是顶点数为k的部。所以总顶点数为(k+1)*r+k(l-r)=kl+r 如果每个部的顶点数都为k,那就不是完全l几乎等部图了,那就是完全l等部图。 定理5 完全l部图边数极大 一个n阶l部图,当它同构于完全l几乎等部图的时候,图中边数最多。 (二)、托兰定理 1、度弱于的定义 如果有G中点到H中点的一一对应,且刚好G中的点的度小于等于对应的H中的点的度,则称G度弱于H,或H度优于G 且G度弱于H,则G的边数一定小于等于H的边数 托兰定理的引理 托兰定理指出,不含l+1阶完全图的极值图是完全l几乎等部图,开启了极值图论研究的先河! (三)、托兰定理的应用 工兵排雷问题 这就跟托兰定理联系起来了。当且仅当距离大于1/根号2,两点之间才连线,即这样的图连线越多, 安全的人就越多,即图论的极值问题,求边最多的情况。 4=3+1,所以边数最多的情况是完全3几乎等部图
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